ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0oddm1d2 GIF version

Theorem nn0oddm1d2 10989
Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0oddm1d2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0oddm1d2
StepHypRef Expression
1 nn0z 8740 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 oddp1d2 10970 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
31, 2syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4 nn0re 8652 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5 1red 7482 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
6 nn0ge0 8668 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7 0le1 7938 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
87a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
94, 5, 6, 8addge0d 7975 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
10 peano2nn0 8683 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1110nn0red 8697 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
12 2re 8463 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1312a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
14 2pos 8484 . . . . . . . . . 10 0 < 2
1514a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
16 ge0div 8304 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ (𝑁 + 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
1711, 13, 15, 16syl3anc 1174 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ (𝑁 + 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
189, 17mpbid 145 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
1918anim1i 333 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2019ancomd 263 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
21 elnn0z 8733 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
2220, 21sylibr 132 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
2322ex 113 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
24 nn0z 8740 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
2523, 24impbid1 140 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
26 nn0ob 10988 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
273, 25, 263bitrd 212 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   < clt 7501  cle 7502  cmin 7632   / cdiv 8113  2c2 8444  0cn0 8643  cz 8720  cdvds 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-dvds 10877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator