ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0oddm1d2 GIF version

Theorem nn0oddm1d2 11894
Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0oddm1d2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0oddm1d2
StepHypRef Expression
1 nn0z 9259 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 oddp1d2 11875 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
31, 2syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4 nn0re 9171 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5 1red 7960 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
6 nn0ge0 9187 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7 0le1 8425 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
87a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
94, 5, 6, 8addge0d 8466 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
10 peano2nn0 9202 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1110nn0red 9216 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
12 2re 8975 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1312a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
14 2pos 8996 . . . . . . . . . 10 0 < 2
1514a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
16 ge0div 8814 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ (𝑁 + 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
1711, 13, 15, 16syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ (𝑁 + 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
189, 17mpbid 147 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
1918anim1i 340 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2019ancomd 267 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
21 elnn0z 9252 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
2220, 21sylibr 134 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
2322ex 115 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
24 nn0z 9259 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
2523, 24impbid1 142 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
26 nn0ob 11893 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
273, 25, 263bitrd 214 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cr 7798  0cc0 7799  1c1 7800   + caddc 7802   < clt 7979  cle 7980  cmin 8115   / cdiv 8615  2c2 8956  0cn0 9162  cz 9239  cdvds 11775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-dvds 11776
This theorem is referenced by:  lgsval  14069  lgsfvalg  14070
  Copyright terms: Public domain W3C validator