Theorem nninfdclemf 12452

Description: Lemma for nninfdc 12456. A function from the natural numbers into A. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf	|- ( ph -> F : NN --> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   i, J

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( x, y, z, i, m, n)   J( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf

Dummy variables p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9565	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9282	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eqid 2177	. . . . 5 |- ( i e. NN |-> J ) = ( i e. NN |-> J )
4		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( i = p -> J = J )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> p e. NN )
6		nninfdclemf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
7	6	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. A )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> J e. A )
9	3, 4, 5, 8	fvmptd3 5611	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) = J )
10	9, 8	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) e. A )
11		nninfdclemf.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A C_ NN )
13		nninfdclemf.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
15		nninfdclemf.nb	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
17		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> p e. A )
18		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> q e. A )
19	12, 14, 16, 17, 18	nninfdclemcl 12451	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( p ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) q ) e. A )
20	1, 2, 10, 19	seqf 10463	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
21		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
22	21	feq1i 5360	. 2 |- ( F : NN --> A <-> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
23	20, 22	sylibr 134	1 |- ( ph -> F : NN --> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3130   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   e. cmpo 5879  infcinf 6984   RRcr 7812   1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   NNcn 8921   ZZ>=cuz 9530   seqcseq 10447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12453  nninfdclemlt  12454  nninfdclemf1  12455