Theorem nninfdclemf 12666

Description: Lemma for nninfdc 12670. A function from the natural numbers into A. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf	|- ( ph -> F : NN --> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   i, J

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( x, y, z, i, m, n)   J( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf

Dummy variables p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9637	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9353	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eqid 2196	. . . . 5 |- ( i e. NN |-> J ) = ( i e. NN |-> J )
4		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( i = p -> J = J )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> p e. NN )
6		nninfdclemf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
7	6	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. A )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> J e. A )
9	3, 4, 5, 8	fvmptd3 5655	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) = J )
10	9, 8	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) e. A )
11		nninfdclemf.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A C_ NN )
13		nninfdclemf.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
15		nninfdclemf.nb	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
17		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> p e. A )
18		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> q e. A )
19	12, 14, 16, 17, 18	nninfdclemcl 12665	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( p ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) q ) e. A )
20	1, 2, 10, 19	seqf 10556	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
21		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
22	21	feq1i 5400	. 2 |- ( F : NN --> A <-> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
23	20, 22	sylibr 134	1 |- ( ph -> F : NN --> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   i^i cin 3156   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924  infcinf 7049   RRcr 7878   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   NNcn 8990   ZZ>=cuz 9601   seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12667  nninfdclemlt  12668  nninfdclemf1  12669