Theorem nninfdclemf 12393

Description: Lemma for nninfdc 12397. A function from the natural numbers into A. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf	|- ( ph -> F : NN --> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   i, J

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( x, y, z, i, m, n)   J( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf

Dummy variables p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9511	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9228	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eqid 2170	. . . . 5 |- ( i e. NN |-> J ) = ( i e. NN |-> J )
4		eqidd 2171	. . . . 5 |- ( i = p -> J = J )
5		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> p e. NN )
6		nninfdclemf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
7	6	simpld 111	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. A )
8	7	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> J e. A )
9	3, 4, 5, 8	fvmptd3 5587	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) = J )
10	9, 8	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) e. A )
11		nninfdclemf.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
12	11	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A C_ NN )
13		nninfdclemf.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
14	13	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
15		nninfdclemf.nb	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
16	15	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
17		simprl 526	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> p e. A )
18		simprr 527	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> q e. A )
19	12, 14, 16, 17, 18	nninfdclemcl 12392	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( p ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) q ) e. A )
20	1, 2, 10, 19	seqf 10406	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
21		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
22	21	feq1i 5338	. 2 |- ( F : NN --> A <-> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
23	20, 22	sylibr 133	1 |- ( ph -> F : NN --> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   i^i cin 3120   C_ wss 3121   class class class wbr 3987   |-> cmpt 4048   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   e. cmpo 5853  infcinf 6957   RRcr 7762   1c1 7764   + caddc 7766   < clt 7943   NNcn 8867   ZZ>=cuz 9476   seqcseq 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-seqfrec 10391

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12394  nninfdclemlt  12395  nninfdclemf1  12396