Theorem nninfdclemf 13192

Description: Lemma for nninfdc 13196. A function from the natural numbers into A. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf	|- ( ph -> F : NN --> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   i, J

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( x, y, z, i, m, n)   J( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf

Dummy variables p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9889	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9603	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eqid 2232	. . . . 5 |- ( i e. NN |-> J ) = ( i e. NN |-> J )
4		eqidd 2233	. . . . 5 |- ( i = p -> J = J )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> p e. NN )
6		nninfdclemf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
7	6	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. A )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> J e. A )
9	3, 4, 5, 8	fvmptd3 5770	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) = J )
10	9, 8	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) e. A )
11		nninfdclemf.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A C_ NN )
13		nninfdclemf.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
15		nninfdclemf.nb	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
17		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> p e. A )
18		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> q e. A )
19	12, 14, 16, 17, 18	nninfdclemcl 13191	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( p ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) q ) e. A )
20	1, 2, 10, 19	seqf 10825	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
21		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
22	21	feq1i 5500	. 2 |- ( F : NN --> A <-> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
23	20, 22	sylibr 134	1 |- ( ph -> F : NN --> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   i^i cin 3209   C_ wss 3210   class class class wbr 4108   |-> cmpt 4170   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   e. cmpo 6051  infcinf 7273   RRcr 8125   1c1 8127   + caddc 8129   < clt 8307   NNcn 9236   ZZ>=cuz 9852   seqcseq 10808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  13193  nninfdclemlt  13194  nninfdclemf1  13195