Theorem nninfdclemf 13150

Description: Lemma for nninfdc 13154. A function from the natural numbers into A. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf	|- ( ph -> F : NN --> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   i, J

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( x, y, z, i, m, n)   J( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf

Dummy variables p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9853	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9567	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- ( i e. NN |-> J ) = ( i e. NN |-> J )
4		eqidd 2232	. . . . 5 |- ( i = p -> J = J )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> p e. NN )
6		nninfdclemf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
7	6	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. A )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> J e. A )
9	3, 4, 5, 8	fvmptd3 5749	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) = J )
10	9, 8	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> J ) ` p ) e. A )
11		nninfdclemf.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A C_ NN )
13		nninfdclemf.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
15		nninfdclemf.nb	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
17		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> p e. A )
18		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> q e. A )
19	12, 14, 16, 17, 18	nninfdclemcl 13149	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( p ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) q ) e. A )
20	1, 2, 10, 19	seqf 10789	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
21		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
22	21	feq1i 5482	. 2 |- ( F : NN --> A <-> seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) ) : NN --> A )
23	20, 22	sylibr 134	1 |- ( ph -> F : NN --> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   i^i cin 3200   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030  infcinf 7242   RRcr 8091   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   NNcn 9202   ZZ>=cuz 9816   seqcseq 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  13151  nninfdclemlt  13152  nninfdclemf1  13153