Theorem nninfdclemf1 12279

Description: Lemma for nninfdc 12280. The function from nninfdclemf 12276 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	|- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   m, F, n   x, F   y, F, z   i, J   y, J, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( i)   J( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables p q u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemf.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
3		nninfdclemf.nb	. . 3 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
4		nninfdclemf.j	. . 3 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
5		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12276	. 2 |- ( ph -> F : NN --> A )
7		fveq2 5471	. . . . 5 |- ( u = v -> ( F ` u ) = ( F ` v ) )
8		fveq2 5471	. . . . 5 |- ( u = p -> ( F ` u ) = ( F ` p ) )
9		fveq2 5471	. . . . 5 |- ( u = q -> ( F ` u ) = ( F ` q ) )
10		nnssre 8843	. . . . 5 |- NN C_ RR
11	1	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> A C_ NN )
12	6	ffvelrnda 5605	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. A )
13	11, 12	sseldd 3129	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. NN )
14	13	nnred 8852	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. RR )
15	1	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A C_ NN )
16	2	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17	3	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
18	4	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
19		simplrl 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u e. NN )
20		simplrr 526	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> v e. NN )
21		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u < v )
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 12278	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( F ` u ) < ( F ` v ) )
23	22	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) -> ( u < v -> ( F ` u ) < ( F ` v ) ) )
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8363	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( p = q <-> ( F ` p ) = ( F ` q ) ) )
25	24	biimprd 157	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
26	25	ralrimivva 2539	. 2 |- ( ph -> A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
27		dff13 5721	. 2 |- ( F : NN -1-1-> A <-> ( F : NN --> A /\ A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) ) )
28	6, 26, 27	sylanbrc 414	1 |- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   i^i cin 3101   C_ wss 3102   class class class wbr 3967   |-> cmpt 4028   -->wf 5169   -1-1->wf1 5170   ` cfv 5173  (class class class)co 5827   e. cmpo 5829  infcinf 6930   RRcr 7734   1c1 7736   + caddc 7738   < clt 7915   NNcn 8839   ZZ>=cuz 9445   seqcseq 10354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-frec 6341  df-sup 6931  df-inf 6932  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-seqfrec 10355

This theorem is referenced by:  nninfdc  12280