Theorem nninfdclemf1 12381

Description: Lemma for nninfdc 12382. The function from nninfdclemf 12378 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	|- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   m, F, n   x, F   y, F, z   i, J   y, J, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( i)   J( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables p q u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemf.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
3		nninfdclemf.nb	. . 3 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
4		nninfdclemf.j	. . 3 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
5		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12378	. 2 |- ( ph -> F : NN --> A )
7		fveq2 5485	. . . . 5 |- ( u = v -> ( F ` u ) = ( F ` v ) )
8		fveq2 5485	. . . . 5 |- ( u = p -> ( F ` u ) = ( F ` p ) )
9		fveq2 5485	. . . . 5 |- ( u = q -> ( F ` u ) = ( F ` q ) )
10		nnssre 8857	. . . . 5 |- NN C_ RR
11	1	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> A C_ NN )
12	6	ffvelrnda 5619	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. A )
13	11, 12	sseldd 3142	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. NN )
14	13	nnred 8866	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. RR )
15	1	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A C_ NN )
16	2	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17	3	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
18	4	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
19		simplrl 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u e. NN )
20		simplrr 526	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> v e. NN )
21		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u < v )
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 12380	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( F ` u ) < ( F ` v ) )
23	22	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) -> ( u < v -> ( F ` u ) < ( F ` v ) ) )
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8377	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( p = q <-> ( F ` p ) = ( F ` q ) ) )
25	24	biimprd 157	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
26	25	ralrimivva 2547	. 2 |- ( ph -> A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
27		dff13 5735	. 2 |- ( F : NN -1-1-> A <-> ( F : NN --> A /\ A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) ) )
28	6, 26, 27	sylanbrc 414	1 |- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   i^i cin 3114   C_ wss 3115   class class class wbr 3981   |-> cmpt 4042   -->wf 5183   -1-1->wf1 5184   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   e. cmpo 5843  infcinf 6944   RRcr 7748   1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   NNcn 8853   ZZ>=cuz 9462   seqcseq 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-seqfrec 10377

This theorem is referenced by:  nninfdc  12382