Theorem nninfdclemf1 12407

Description: Lemma for nninfdc 12408. The function from nninfdclemf 12404 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	|- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   m, F, n   x, F   y, F, z   i, J   y, J, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( i)   J( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables p q u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemf.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
3		nninfdclemf.nb	. . 3 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
4		nninfdclemf.j	. . 3 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
5		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12404	. 2 |- ( ph -> F : NN --> A )
7		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( u = v -> ( F ` u ) = ( F ` v ) )
8		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( u = p -> ( F ` u ) = ( F ` p ) )
9		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( u = q -> ( F ` u ) = ( F ` q ) )
10		nnssre 8882	. . . . 5 |- NN C_ RR
11	1	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> A C_ NN )
12	6	ffvelrnda 5631	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. A )
13	11, 12	sseldd 3148	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. NN )
14	13	nnred 8891	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. RR )
15	1	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A C_ NN )
16	2	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17	3	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
18	4	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
19		simplrl 530	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u e. NN )
20		simplrr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> v e. NN )
21		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u < v )
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 12406	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( F ` u ) < ( F ` v ) )
23	22	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) -> ( u < v -> ( F ` u ) < ( F ` v ) ) )
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8402	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( p = q <-> ( F ` p ) = ( F ` q ) ) )
25	24	biimprd 157	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
26	25	ralrimivva 2552	. 2 |- ( ph -> A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
27		dff13 5747	. 2 |- ( F : NN -1-1-> A <-> ( F : NN --> A /\ A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) ) )
28	6, 26, 27	sylanbrc 415	1 |- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   i^i cin 3120   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855  infcinf 6960   RRcr 7773   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   NNcn 8878   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  nninfdc  12408