Theorem nninfdclemf1 12823

Description: Lemma for nninfdc 12824. The function from nninfdclemf 12820 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	|- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   m, F, n   x, F   y, F, z   i, J   y, J, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( i)   J( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables p q u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemf.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
3		nninfdclemf.nb	. . 3 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
4		nninfdclemf.j	. . 3 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
5		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12820	. 2 |- ( ph -> F : NN --> A )
7		fveq2 5576	. . . . 5 |- ( u = v -> ( F ` u ) = ( F ` v ) )
8		fveq2 5576	. . . . 5 |- ( u = p -> ( F ` u ) = ( F ` p ) )
9		fveq2 5576	. . . . 5 |- ( u = q -> ( F ` u ) = ( F ` q ) )
10		nnssre 9040	. . . . 5 |- NN C_ RR
11	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> A C_ NN )
12	6	ffvelcdmda 5715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. A )
13	11, 12	sseldd 3194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. NN )
14	13	nnred 9049	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. RR )
15	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A C_ NN )
16	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
19		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u e. NN )
20		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> v e. NN )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u < v )
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 12822	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( F ` u ) < ( F ` v ) )
23	22	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) -> ( u < v -> ( F ` u ) < ( F ` v ) ) )
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8556	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( p = q <-> ( F ` p ) = ( F ` q ) ) )
25	24	biimprd 158	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
26	25	ralrimivva 2588	. 2 |- ( ph -> A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
27		dff13 5837	. 2 |- ( F : NN -1-1-> A <-> ( F : NN --> A /\ A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) ) )
28	6, 26, 27	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   i^i cin 3165   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   |-> cmpt 4105   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946  infcinf 7085   RRcr 7924   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   NNcn 9036   ZZ>=cuz 9648   seqcseq 10592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593

This theorem is referenced by:  nninfdc  12824