Theorem nninfdclemf1 12938

Description: Lemma for nninfdc 12939. The function from nninfdclemf 12935 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	|- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   m, F, n   x, F   y, F, z   i, J   y, J, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( i)   J( x, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables p q u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ NN )
2		nninfdclemf.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
3		nninfdclemf.nb	. . 3 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
4		nninfdclemf.j	. . 3 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
5		nninfdclemf.f	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12935	. 2 |- ( ph -> F : NN --> A )
7		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( u = v -> ( F ` u ) = ( F ` v ) )
8		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( u = p -> ( F ` u ) = ( F ` p ) )
9		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( u = q -> ( F ` u ) = ( F ` q ) )
10		nnssre 9075	. . . . 5 |- NN C_ RR
11	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> A C_ NN )
12	6	ffvelcdmda 5738	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. A )
13	11, 12	sseldd 3202	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. NN )
14	13	nnred 9084	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. NN ) -> ( F ` u ) e. RR )
15	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A C_ NN )
16	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
19		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u e. NN )
20		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> v e. NN )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> u < v )
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 12937	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) /\ u < v ) -> ( F ` u ) < ( F ` v ) )
23	22	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. NN /\ v e. NN ) ) -> ( u < v -> ( F ` u ) < ( F ` v ) ) )
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8591	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( p = q <-> ( F ` p ) = ( F ` q ) ) )
25	24	biimprd 158	. . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. NN /\ q e. NN ) ) -> ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
26	25	ralrimivva 2590	. 2 |- ( ph -> A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) )
27		dff13 5860	. 2 |- ( F : NN -1-1-> A <-> ( F : NN --> A /\ A. p e. NN A. q e. NN ( ( F ` p ) = ( F ` q ) -> p = q ) ) )
28	6, 26, 27	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> F : NN -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   i^i cin 3173   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   -->wf 5286   -1-1->wf1 5287   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  infcinf 7111   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   NNcn 9071   ZZ>=cuz 9683   seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by:  nninfdc  12939