Theorem nninfdclemf 13398

Description: Lemma for nninfdc 13402. A function from the natural numbers into 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑖,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑖, 𝑚, 𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑖, 𝑚, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemf

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9974	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9682	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)
4		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → 𝐽 = 𝐽)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
6		nninfdclemf.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
7	6	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ 𝐴)
9	3, 4, 5, 8	fvmptd3 5802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) = 𝐽)
10	9, 8	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) ∈ 𝐴)
11		nninfdclemf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		nninfdclemf.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
15		nninfdclemf.nb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
17		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
18		simprr 537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
19	12, 14, 16, 17, 18	nninfdclemcl 13397	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑞) ∈ 𝐴)
20	1, 2, 10, 19	seqf 10922	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)):ℕ⟶𝐴)
21		nninfdclemf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
22	21	feq1i 5529	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝐴 ↔ seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)):ℕ⟶𝐴)
23	20, 22	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090  infcinf 7329  ℝcr 8184  1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366  ℕcn 9313  ℤ_≥cuz 9937  seqcseq 10905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906

This theorem is used by:  nninfdclemp1  13399  nninfdclemlt  13400  nninfdclemf1  13401