Theorem nninfdclemf 13217

Description: Lemma for nninfdc 13221. A function from the natural numbers into 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑖,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemf

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9893	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9606	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)
4		eqidd 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → 𝐽 = 𝐽)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
6		nninfdclemf.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
7	6	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ 𝐴)
9	3, 4, 5, 8	fvmptd3 5773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) = 𝐽)
10	9, 8	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) ∈ 𝐴)
11		nninfdclemf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		nninfdclemf.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
15		nninfdclemf.nb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
17		simprl 531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
18		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
19	12, 14, 16, 17, 18	nninfdclemcl 13216	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑞) ∈ 𝐴)
20	1, 2, 10, 19	seqf 10830	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)):ℕ⟶𝐴)
21		nninfdclemf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
22	21	feq1i 5503	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝐴 ↔ seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)):ℕ⟶𝐴)
23	20, 22	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∩ cin 3212   ⊆ wss 3213   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ∈ cmpo 6054  infcinf 7276  ℝcr 8128  1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310  ℕcn 9239  ℤ_≥cuz 9856  seqcseq 10813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  13218  nninfdclemlt  13219  nninfdclemf1  13220