Theorem nninfdclemf 12676

Description: Lemma for nninfdc 12680. A function from the natural numbers into 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑖,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemf

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9639	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9355	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)
4		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → 𝐽 = 𝐽)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
6		nninfdclemf.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
7	6	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ 𝐴)
9	3, 4, 5, 8	fvmptd3 5656	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) = 𝐽)
10	9, 8	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) ∈ 𝐴)
11		nninfdclemf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		nninfdclemf.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
15		nninfdclemf.nb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
17		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
18		simprr 531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
19	12, 14, 16, 17, 18	nninfdclemcl 12675	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑞) ∈ 𝐴)
20	1, 2, 10, 19	seqf 10558	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)):ℕ⟶𝐴)
21		nninfdclemf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
22	21	feq1i 5401	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝐴 ↔ seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)):ℕ⟶𝐴)
23	20, 22	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923   ∈ cmpo 5925  infcinf 7050  ℝcr 7880  1c1 7882   + caddc 7884   < clt 8063  ℕcn 8992  ℤ_≥cuz 9603  seqcseq 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12677  nninfdclemlt  12678  nninfdclemf1  12679