Theorem nninfdclemf1 13401

Description: Lemma for nninfdc 13402. The function from nninfdclemf 13398 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑖, 𝑚, 𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemf.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		nninfdclemf.nb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
4		nninfdclemf.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5		nninfdclemf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 13398	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
7		fveq2 5698	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣))
8		fveq2 5698	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑝 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑝))
9		fveq2 5698	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑞 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑞))
10		nnssre 9317	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
11	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
12	6	ffvelcdmda 5846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
14	13	nnred 9326	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℝ)
15	1	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝐴 ⊆ ℕ)
16	2	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
17	3	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
18	4	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
19		simplrl 541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 ∈ ℕ)
20		simplrr 542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑣 ∈ ℕ)
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 < 𝑣)
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 13400	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣))
23	22	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 < 𝑣 → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣)))
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 = 𝑞 ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞)))
25	24	biimprd 158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
26	25	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
27		dff13 5977	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ–1-1→𝐴 ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞)))
28	6, 26, 27	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  –1-1→wf1 5377  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090  infcinf 7329  ℝcr 8184  1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366  ℕcn 9313  ℤ_≥cuz 9937  seqcseq 10905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906

This theorem is used by:  nninfdc  13402