Theorem nninfdclemf1 12694

Description: Lemma for nninfdc 12695. The function from nninfdclemf 12691 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemf.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		nninfdclemf.nb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
4		nninfdclemf.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5		nninfdclemf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
7		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣))
8		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑝 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑝))
9		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑞 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑞))
10		nnssre 9011	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
11	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
12	6	ffvelcdmda 5700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3185	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
14	13	nnred 9020	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℝ)
15	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝐴 ⊆ ℕ)
16	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
17	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
19		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 ∈ ℕ)
20		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑣 ∈ ℕ)
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 < 𝑣)
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 12693	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣))
23	22	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 < 𝑣 → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣)))
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 = 𝑞 ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞)))
25	24	biimprd 158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
26	25	ralrimivva 2579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
27		dff13 5818	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ–1-1→𝐴 ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞)))
28	6, 26, 27	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ⟶wf 5255  –1-1→wf1 5256  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  infcinf 7058  ℝcr 7895  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078  ℕcn 9007  ℤ_≥cuz 9618  seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  nninfdc  12695