Theorem nninfdclemf1 12514

Description: Lemma for nninfdc 12515. The function from nninfdclemf 12511 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemf.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		nninfdclemf.nb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
4		nninfdclemf.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5		nninfdclemf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12511	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
7		fveq2 5537	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣))
8		fveq2 5537	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑝 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑝))
9		fveq2 5537	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑞 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑞))
10		nnssre 8958	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
11	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
12	6	ffvelcdmda 5675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
14	13	nnred 8967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℝ)
15	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝐴 ⊆ ℕ)
16	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
17	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
19		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 ∈ ℕ)
20		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑣 ∈ ℕ)
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 < 𝑣)
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 12513	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣))
23	22	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 < 𝑣 → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣)))
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 = 𝑞 ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞)))
25	24	biimprd 158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
26	25	ralrimivva 2572	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
27		dff13 5793	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ–1-1→𝐴 ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞)))
28	6, 26, 27	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   ∩ cin 3143   ⊆ wss 3144   class class class wbr 4021   ↦ cmpt 4082  ⟶wf 5234  –1-1→wf1 5235  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900   ∈ cmpo 5902  infcinf 7016  ℝcr 7845  1c1 7847   + caddc 7849   < clt 8027  ℕcn 8954  ℤ_≥cuz 9563  seqcseq 10484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-sup 7017  df-inf 7018  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-fz 10045  df-fzo 10179  df-seqfrec 10485

This theorem is referenced by:  nninfdc  12515