Theorem nninfdclemf1 12456

Description: Lemma for nninfdc 12457. The function from nninfdclemf 12453 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemf.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		nninfdclemf.nb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
4		nninfdclemf.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5		nninfdclemf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12453	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
7		fveq2 5517	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣))
8		fveq2 5517	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑝 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑝))
9		fveq2 5517	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑞 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑞))
10		nnssre 8926	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
11	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
12	6	ffvelcdmda 5654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
14	13	nnred 8935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℝ)
15	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝐴 ⊆ ℕ)
16	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
17	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
18	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
19		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 ∈ ℕ)
20		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑣 ∈ ℕ)
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 < 𝑣)
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 12455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣))
23	22	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 < 𝑣 → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣)))
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8443	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 = 𝑞 ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞)))
25	24	biimprd 158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
26	25	ralrimivva 2559	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
27		dff13 5772	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ–1-1→𝐴 ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞)))
28	6, 26, 27	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∩ cin 3130   ⊆ wss 3131   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  ⟶wf 5214  –1-1→wf1 5215  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878   ∈ cmpo 5880  infcinf 6985  ℝcr 7813  1c1 7815   + caddc 7817   < clt 7995  ℕcn 8922  ℤ_≥cuz 9531  seqcseq 10448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449

This theorem is referenced by:  nninfdc  12457