Theorem nninfdclemf1 13321

Description: Lemma for nninfdc 13322. The function from nninfdclemf 13318 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemf1

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemf.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		nninfdclemf.nb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
4		nninfdclemf.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5		nninfdclemf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 13318	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
7		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣))
8		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑝 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑝))
9		fveq2 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑞 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑞))
10		nnssre 9287	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
11	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
12	6	ffvelcdmda 5834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℕ)
14	13	nnred 9296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑢) ∈ ℝ)
15	1	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝐴 ⊆ ℕ)
16	2	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
17	3	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
18	4	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
19		simplrl 541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 ∈ ℕ)
20		simplrr 542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑣 ∈ ℕ)
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → 𝑢 < 𝑣)
22	15, 16, 17, 18, 5, 19, 20, 21	nninfdclemlt 13320	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣))
23	22	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ ℕ)) → (𝑢 < 𝑣 → (𝐹‘𝑢) < (𝐹‘𝑣)))
24	7, 8, 9, 10, 14, 23	eqord1 8801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 = 𝑞 ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞)))
25	24	biimprd 158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
26	25	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞))
27		dff13 5964	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ–1-1→𝐴 ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) → 𝑝 = 𝑞)))
28	6, 26, 27	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ–1-1→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ⟶wf 5368  –1-1→wf1 5369  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ∈ cmpo 6077  infcinf 7313  ℝcr 8168  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350  ℕcn 9283  ℤ_≥cuz 9900  seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  nninfdc  13322