Theorem axprecex 8143

Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 8185.

In treatments which assume excluded middle, the 0 <RR A condition is generally replaced by A =/= 0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axprecex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem axprecex

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8091	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = A )
2		df-rex 2517	. . . 4 |- ( E. y e. R. <. y , 0R >. = A <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 184	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
4		breq2 4097	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
5		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( A x. x ) )
6	5	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( A x. x ) = 1 ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
8	7	rexbidv 2534	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) <-> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) ) )
10		df-0 8082	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
11	10	breq1i 4100	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
12		ltresr 8102	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
13	11, 12	bitri 184	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
14		recexgt0sr 8036	. . . . 5 |- ( 0R <R y -> E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) )
15		opelreal 8090	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
16	15	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
17	10	breq1i 4100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. )
18		ltresr 8102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
19	17, 18	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z ) )
21		mulresr 8101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
22	21	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 ) )
23		df-1 8083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = <. 1R , 0R >.
24	23	eqeq2i 2242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. )
25		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R = 0R
26		1sr 8014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		0r 8013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
28		opthg2 4337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1R e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) )
30	25, 29	mpbiran2 950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( y .R z ) = 1R )
31	24, 30	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> ( y .R z ) = 1R )
32	22, 31	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> ( y .R z ) = 1R ) )
33	20, 32	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) <-> ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) )
34	33	pm5.32da 452	. . . . . . . . 9 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
35	16, 34	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- ( y e. R. -> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
36		breq2 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( 0 <RR x <-> 0 <RR <. z , 0R >. ) )
37		oveq2 6036	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) )
38	37	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) )
39	36, 38	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
40	39	rspcev 2911	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
41	35, 40	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
42	41	expd 258	. . . . . 6 |- ( y e. R. -> ( z e. R. -> ( ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) ) )
43	42	rexlimdv 2650	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
44	14, 43	syl5 32	. . . 4 |- ( y e. R. -> ( 0R <R y -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
45	13, 44	biimtrid 152	. . 3 |- ( y e. R. -> ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
46	3, 9, 45	gencl 2836	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
47	46	imp 124	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   E.wrex 2512   <.cop 3676   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   R.cnr 7560   0Rc0r 7561   1Rc1r 7562   .R cmr 7565   <R cltr 7566   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   <RR cltrr 8079   x. cmul 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-imp 7732  df-iltp 7733  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-mr 7992  df-ltr 7993  df-0r 7994  df-1r 7995  df-m1r 7996  df-c 8081  df-0 8082  df-1 8083  df-r 8085  df-mul 8087  df-lt 8088

This theorem is referenced by:  rereceu  8152  recriota  8153