Theorem axprecex 7964

Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 8006.

In treatments which assume excluded middle, the 0 <RR A condition is generally replaced by A =/= 0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axprecex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem axprecex

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7912	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = A )
2		df-rex 2481	. . . 4 |- ( E. y e. R. <. y , 0R >. = A <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 184	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
4		breq2 4038	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
5		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( A x. x ) )
6	5	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( A x. x ) = 1 ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
8	7	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) <-> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) ) )
10		df-0 7903	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
11	10	breq1i 4041	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
12		ltresr 7923	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
13	11, 12	bitri 184	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
14		recexgt0sr 7857	. . . . 5 |- ( 0R <R y -> E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) )
15		opelreal 7911	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
16	15	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
17	10	breq1i 4041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. )
18		ltresr 7923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
19	17, 18	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z ) )
21		mulresr 7922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
22	21	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 ) )
23		df-1 7904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = <. 1R , 0R >.
24	23	eqeq2i 2207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. )
25		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R = 0R
26		1sr 7835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		0r 7834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
28		opthg2 4273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1R e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) )
30	25, 29	mpbiran2 943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( y .R z ) = 1R )
31	24, 30	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> ( y .R z ) = 1R )
32	22, 31	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> ( y .R z ) = 1R ) )
33	20, 32	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) <-> ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) )
34	33	pm5.32da 452	. . . . . . . . 9 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
35	16, 34	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- ( y e. R. -> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
36		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( 0 <RR x <-> 0 <RR <. z , 0R >. ) )
37		oveq2 5933	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) )
38	37	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) )
39	36, 38	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
40	39	rspcev 2868	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
41	35, 40	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
42	41	expd 258	. . . . . 6 |- ( y e. R. -> ( z e. R. -> ( ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) ) )
43	42	rexlimdv 2613	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
44	14, 43	syl5 32	. . . 4 |- ( y e. R. -> ( 0R <R y -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
45	13, 44	biimtrid 152	. . 3 |- ( y e. R. -> ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
46	3, 9, 45	gencl 2795	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
47	46	imp 124	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3626   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   R.cnr 7381   0Rc0r 7382   1Rc1r 7383   .R cmr 7386   <R cltr 7387   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   <RR cltrr 7900   x. cmul 7901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550  df-i1p 7551  df-iplp 7552  df-imp 7553  df-iltp 7554  df-enr 7810  df-nr 7811  df-plr 7812  df-mr 7813  df-ltr 7814  df-0r 7815  df-1r 7816  df-m1r 7817  df-c 7902  df-0 7903  df-1 7904  df-r 7906  df-mul 7908  df-lt 7909

This theorem is referenced by:  rereceu  7973  recriota  7974