ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axprecex Unicode version

Theorem axprecex 7652
Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 7694.

In treatments which assume excluded middle, the  0 
<RR  A condition is generally replaced by  A  =/=  0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axprecex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <RR  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem axprecex
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7600 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A )
2 df-rex 2397 . . . 4  |-  ( E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A  <->  E. y ( y  e. 
R.  /\  <. y ,  0R >.  =  A
) )
31, 2bitri 183 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y
( y  e.  R.  /\ 
<. y ,  0R >.  =  A ) )
4 breq2 3901 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  0  <RR  A ) )
5 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( A  x.  x ) )
65eqeq1d 2124 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( A  x.  x
)  =  1 ) )
76anbi2d 457 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) )
87rexbidv 2413 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  (
0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
94, 8imbi12d 233 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  <. y ,  0R >.  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )  <->  ( 0 
<RR  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) ) )
10 df-0 7591 . . . . . 6  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
1110breq1i 3904 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )
12 ltresr 7611 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  0R  <R  y )
1311, 12bitri 183 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <-> 
0R  <R  y )
14 recexgt0sr 7545 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  y  ->  E. z  e.  R.  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z )  =  1R ) )
15 opelreal 7599 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
1615anbi1i 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) ) )
1710breq1i 3904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )
18 ltresr 7611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  0R  <R  z )
1917, 18bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  <-> 
0R  <R  z )
2019a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  <. z ,  0R >.  <->  0R  <R  z ) )
21 mulresr 7610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. )
2221eqeq1d 2124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <->  <. ( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1 ) )
23 df-1 7592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
2423eqeq2i 2126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >. )
25 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0R  =  0R
26 1sr 7523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1R  e.  R.
27 0r 7522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0R  e.  R.
28 opthg2 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >.  <-> 
( ( y  .R  z )  =  1R  /\  0R  =  0R ) ) )
2926, 27, 28mp2an 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
( y  .R  z
)  =  1R  /\  0R  =  0R )
)
3025, 29mpbiran2 908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
y  .R  z )  =  1R )
3124, 30bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  ( y  .R  z )  =  1R )
3222, 31syl6bb 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <-> 
( y  .R  z
)  =  1R )
)
3320, 32anbi12d 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( 0  <RR  <.
z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 )  <-> 
( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) )
3433pm5.32da 445 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( 0  <RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <-> 
( z  e.  R.  /\  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) ) )
3516, 34syl5bb 191 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  (
0  <RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( 0R 
<R  z  /\  (
y  .R  z )  =  1R ) ) ) )
36 breq2 3901 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( 0  <RR  x  <->  0  <RR  <. z ,  0R >. ) )
37 oveq2 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. ) )
3837eqeq1d 2124 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )
3936, 38anbi12d 462 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( 0 
<RR  x  /\  ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )  <->  ( 0  <RR  <.
z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) ) )
4039rspcev 2761 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( 0 
<RR  <. z ,  0R >.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) )
4135, 40syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
)  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) ) )
4241expd 256 . . . . . 6  |-  ( y  e.  R.  ->  (
z  e.  R.  ->  ( ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) ) )
4342rexlimdv 2523 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  ( E. z  e.  R.  ( 0R  <R  z  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
4414, 43syl5 32 . . . 4  |-  ( y  e.  R.  ->  ( 0R  <R  y  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) ) )
4513, 44syl5bi 151 . . 3  |-  ( y  e.  R.  ->  (
0  <RR  <. y ,  0R >.  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
463, 9, 45gencl 2690 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <RR  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x )  =  1 ) ) )
4746imp 123 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <RR  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  /\  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E.wrex 2392   <.cop 3498   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   R.cnr 7069   0Rc0r 7070   1Rc1r 7071    .R cmr 7074    <R cltr 7075   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    <RR cltrr 7588    x. cmul 7589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-i1p 7239  df-iplp 7240  df-imp 7241  df-iltp 7242  df-enr 7498  df-nr 7499  df-plr 7500  df-mr 7501  df-ltr 7502  df-0r 7503  df-1r 7504  df-m1r 7505  df-c 7590  df-0 7591  df-1 7592  df-r 7594  df-mul 7596  df-lt 7597
This theorem is referenced by:  rereceu  7661  recriota  7662
  Copyright terms: Public domain W3C validator