Theorem axprecex 7947

Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 7989.

In treatments which assume excluded middle, the 0 <RR A condition is generally replaced by A =/= 0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axprecex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem axprecex

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7895	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = A )
2		df-rex 2481	. . . 4 |- ( E. y e. R. <. y , 0R >. = A <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 184	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
4		breq2 4037	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
5		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( A x. x ) )
6	5	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( A x. x ) = 1 ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
8	7	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) <-> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) ) )
10		df-0 7886	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
11	10	breq1i 4040	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
12		ltresr 7906	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
13	11, 12	bitri 184	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
14		recexgt0sr 7840	. . . . 5 |- ( 0R <R y -> E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) )
15		opelreal 7894	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
16	15	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
17	10	breq1i 4040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. )
18		ltresr 7906	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
19	17, 18	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z ) )
21		mulresr 7905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
22	21	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 ) )
23		df-1 7887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = <. 1R , 0R >.
24	23	eqeq2i 2207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. )
25		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R = 0R
26		1sr 7818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		0r 7817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
28		opthg2 4272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1R e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) )
30	25, 29	mpbiran2 943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( y .R z ) = 1R )
31	24, 30	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> ( y .R z ) = 1R )
32	22, 31	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> ( y .R z ) = 1R ) )
33	20, 32	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) <-> ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) )
34	33	pm5.32da 452	. . . . . . . . 9 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
35	16, 34	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- ( y e. R. -> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
36		breq2 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( 0 <RR x <-> 0 <RR <. z , 0R >. ) )
37		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) )
38	37	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) )
39	36, 38	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
40	39	rspcev 2868	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
41	35, 40	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
42	41	expd 258	. . . . . 6 |- ( y e. R. -> ( z e. R. -> ( ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) ) )
43	42	rexlimdv 2613	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
44	14, 43	syl5 32	. . . 4 |- ( y e. R. -> ( 0R <R y -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
45	13, 44	biimtrid 152	. . 3 |- ( y e. R. -> ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
46	3, 9, 45	gencl 2795	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
47	46	imp 124	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3625   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   R.cnr 7364   0Rc0r 7365   1Rc1r 7366   .R cmr 7369   <R cltr 7370   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   <RR cltrr 7883   x. cmul 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-imp 7536  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-mr 7796  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-1r 7799  df-m1r 7800  df-c 7885  df-0 7886  df-1 7887  df-r 7889  df-mul 7891  df-lt 7892

This theorem is referenced by:  rereceu  7956  recriota  7957