Theorem axprecex 8211

Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 8253.

In treatments which assume excluded middle, the 0 <RR A condition is generally replaced by A =/= 0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axprecex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem axprecex

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8159	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = A )
2		df-rex 2528	. . . 4 |- ( E. y e. R. <. y , 0R >. = A <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 184	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
4		breq2 4118	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
5		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( A x. x ) )
6	5	eqeq1d 2243	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( A x. x ) = 1 ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
8	7	rexbidv 2545	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) <-> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) ) )
10		df-0 8150	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
11	10	breq1i 4121	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
12		ltresr 8170	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
13	11, 12	bitri 184	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
14		recexgt0sr 8104	. . . . 5 |- ( 0R <R y -> E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) )
15		opelreal 8158	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
16	15	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
17	10	breq1i 4121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. )
18		ltresr 8170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
19	17, 18	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z ) )
21		mulresr 8169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
22	21	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 ) )
23		df-1 8151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = <. 1R , 0R >.
24	23	eqeq2i 2245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. )
25		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R = 0R
26		1sr 8082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		0r 8081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
28		opthg2 4360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1R e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) )
30	25, 29	mpbiran2 950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( y .R z ) = 1R )
31	24, 30	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> ( y .R z ) = 1R )
32	22, 31	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> ( y .R z ) = 1R ) )
33	20, 32	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) <-> ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) )
34	33	pm5.32da 452	. . . . . . . . 9 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
35	16, 34	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- ( y e. R. -> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
36		breq2 4118	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( 0 <RR x <-> 0 <RR <. z , 0R >. ) )
37		oveq2 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) )
38	37	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) )
39	36, 38	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
40	39	rspcev 2923	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
41	35, 40	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
42	41	expd 258	. . . . . 6 |- ( y e. R. -> ( z e. R. -> ( ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) ) )
43	42	rexlimdv 2661	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
44	14, 43	syl5 32	. . . 4 |- ( y e. R. -> ( 0R <R y -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
45	13, 44	biimtrid 152	. . 3 |- ( y e. R. -> ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
46	3, 9, 45	gencl 2848	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
47	46	imp 124	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   E.wrex 2523   <.cop 3697   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   R.cnr 7628   0Rc0r 7629   1Rc1r 7630   .R cmr 7633   <R cltr 7634   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   <RR cltrr 8147   x. cmul 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-imp 7800  df-iltp 7801  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-mr 8060  df-ltr 8061  df-0r 8062  df-1r 8063  df-m1r 8064  df-c 8149  df-0 8150  df-1 8151  df-r 8153  df-mul 8155  df-lt 8156

This theorem is referenced by:  rereceu  8220  recriota  8221