Theorem axprecex 7821

Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 7863.

In treatments which assume excluded middle, the 0 <RR A condition is generally replaced by A =/= 0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axprecex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem axprecex

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7769	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = A )
2		df-rex 2450	. . . 4 |- ( E. y e. R. <. y , 0R >. = A <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 183	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
4		breq2 3986	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
5		oveq1 5849	. . . . . . 7 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( A x. x ) )
6	5	eqeq1d 2174	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( A x. x ) = 1 ) )
7	6	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
8	7	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
9	4, 8	imbi12d 233	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) <-> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) ) )
10		df-0 7760	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
11	10	breq1i 3989	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
12		ltresr 7780	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
13	11, 12	bitri 183	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
14		recexgt0sr 7714	. . . . 5 |- ( 0R <R y -> E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) )
15		opelreal 7768	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
16	15	anbi1i 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
17	10	breq1i 3989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. )
18		ltresr 7780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
19	17, 18	bitri 183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z )
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( 0 <RR <. z , 0R >. <-> 0R <R z ) )
21		mulresr 7779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
22	21	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 ) )
23		df-1 7761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = <. 1R , 0R >.
24	23	eqeq2i 2176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. )
25		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R = 0R
26		1sr 7692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		0r 7691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
28		opthg2 4217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1R e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( ( y .R z ) = 1R /\ 0R = 0R ) )
30	25, 29	mpbiran2 931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( y .R z ) = 1R )
31	24, 30	bitri 183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> ( y .R z ) = 1R )
32	22, 31	bitrdi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> ( y .R z ) = 1R ) )
33	20, 32	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) <-> ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) )
34	33	pm5.32da 448	. . . . . . . . 9 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
35	16, 34	syl5bb 191	. . . . . . . 8 |- ( y e. R. -> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) <-> ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) ) )
36		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( 0 <RR x <-> 0 <RR <. z , 0R >. ) )
37		oveq2 5850	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) )
38	37	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) )
39	36, 38	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) )
40	39	rspcev 2830	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( 0 <RR <. z , 0R >. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
41	35, 40	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
42	41	expd 256	. . . . . 6 |- ( y e. R. -> ( z e. R. -> ( ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) ) )
43	42	rexlimdv 2582	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( E. z e. R. ( 0R <R z /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
44	14, 43	syl5 32	. . . 4 |- ( y e. R. -> ( 0R <R y -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
45	13, 44	syl5bi 151	. . 3 |- ( y e. R. -> ( 0 <RR <. y , 0R >. -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
46	3, 9, 45	gencl 2758	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 <RR A -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) ) )
47	46	imp 123	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <RR A ) -> E. x e. RR ( 0 <RR x /\ ( A x. x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   <.cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   1Rc1r 7240   .R cmr 7243   <R cltr 7244   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   <RR cltrr 7757   x. cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-1r 7673  df-m1r 7674  df-c 7759  df-0 7760  df-1 7761  df-r 7763  df-mul 7765  df-lt 7766

This theorem is referenced by:  rereceu  7830  recriota  7831