Theorem pc0 13027

Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc0	|- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Proof of Theorem pc0

Dummy variables x y n p r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9605	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zq 9976	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- 0 e. QQ
4		iftrue 3631	. . . 4 |- ( r = 0 -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( p = P /\ r = 0 ) -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
6		df-pc 13008	. . 3 |- pCnt = ( p e. Prime , r e. QQ |-> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) )
7		pnfex 8343	. . 3 |- +oo e. _V
8	5, 6, 7	ovmpoa 6192	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 0 e. QQ ) -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
9	3, 8	mpan2 425	1 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   {crab 2526   ifcif 3624   class class class wbr 4114   iotacio 5315  (class class class)co 6058   supcsup 7286   RRcr 8142   0cc0 8143   +oocpnf 8321   < clt 8324   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   QQcq 9969   ^cexp 10924   || cdvds 12498   Primecprime 12829   pCnt cpc 13007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-z 9595  df-q 9970  df-pc 13008

This theorem is referenced by:  pcxnn0cl  13033  pcxcl  13034  pcxqcl  13035  pcge0  13036  pcdvdsb  13043  pcgcd1  13051  pc2dvds  13053  pcaddlem  13062  pcadd  13063