Theorem pc0 12827

Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc0	|- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Proof of Theorem pc0

Dummy variables x y n p r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9457	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zq 9821	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- 0 e. QQ
4		iftrue 3607	. . . 4 |- ( r = 0 -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( p = P /\ r = 0 ) -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
6		df-pc 12808	. . 3 |- pCnt = ( p e. Prime , r e. QQ |-> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) )
7		pnfex 8200	. . 3 |- +oo e. _V
8	5, 6, 7	ovmpoa 6135	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 0 e. QQ ) -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
9	3, 8	mpan2 425	1 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   {crab 2512   ifcif 3602   class class class wbr 4083   iotacio 5276  (class class class)co 6001   supcsup 7149   RRcr 7998   0cc0 7999   +oocpnf 8178   < clt 8181   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   QQcq 9814   ^cexp 10760   || cdvds 12298   Primecprime 12629   pCnt cpc 12807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-z 9447  df-q 9815  df-pc 12808

This theorem is referenced by:  pcxnn0cl  12833  pcxcl  12834  pcxqcl  12835  pcge0  12836  pcdvdsb  12843  pcgcd1  12851  pc2dvds  12853  pcaddlem  12862  pcadd  12863