Theorem pc0 12498

Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc0	|- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Proof of Theorem pc0

Dummy variables x y n p r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9354	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zq 9717	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- 0 e. QQ
4		iftrue 3567	. . . 4 |- ( r = 0 -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( p = P /\ r = 0 ) -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
6		df-pc 12479	. . 3 |- pCnt = ( p e. Prime , r e. QQ |-> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) )
7		pnfex 8097	. . 3 |- +oo e. _V
8	5, 6, 7	ovmpoa 6057	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 0 e. QQ ) -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
9	3, 8	mpan2 425	1 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   {crab 2479   ifcif 3562   class class class wbr 4034   iotacio 5218  (class class class)co 5925   supcsup 7057   RRcr 7895   0cc0 7896   +oocpnf 8075   < clt 8078   - cmin 8214   / cdiv 8716   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   QQcq 9710   ^cexp 10647   || cdvds 11969   Primecprime 12300   pCnt cpc 12478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-z 9344  df-q 9711  df-pc 12479

This theorem is referenced by:  pcxnn0cl  12504  pcxcl  12505  pcxqcl  12506  pcge0  12507  pcdvdsb  12514  pcgcd1  12522  pc2dvds  12524  pcaddlem  12533  pcadd  12534