Theorem pc0 12957

Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc0	|- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Proof of Theorem pc0

Dummy variables x y n p r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9551	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zq 9921	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- 0 e. QQ
4		iftrue 3614	. . . 4 |- ( r = 0 -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( p = P /\ r = 0 ) -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
6		df-pc 12938	. . 3 |- pCnt = ( p e. Prime , r e. QQ |-> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) )
7		pnfex 8292	. . 3 |- +oo e. _V
8	5, 6, 7	ovmpoa 6162	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 0 e. QQ ) -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
9	3, 8	mpan2 425	1 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   {crab 2515   ifcif 3607   class class class wbr 4093   iotacio 5291  (class class class)co 6028   supcsup 7241   RRcr 8091   0cc0 8092   +oocpnf 8270   < clt 8273   - cmin 8409   / cdiv 8911   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   QQcq 9914   ^cexp 10863   || cdvds 12428   Primecprime 12759   pCnt cpc 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-z 9541  df-q 9915  df-pc 12938

This theorem is referenced by:  pcxnn0cl  12963  pcxcl  12964  pcxqcl  12965  pcge0  12966  pcdvdsb  12973  pcgcd1  12981  pc2dvds  12983  pcaddlem  12992  pcadd  12993