Theorem pc0 12258

Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc0	|- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Proof of Theorem pc0

Dummy variables x y n p r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9223	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zq 9585	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- 0 e. QQ
4		iftrue 3531	. . . 4 |- ( r = 0 -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( p = P /\ r = 0 ) -> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) = +oo )
6		df-pc 12239	. . 3 |- pCnt = ( p e. Prime , r e. QQ |-> if ( r = 0 , +oo , ( iota z E. x e. ZZ E. y e. NN ( r = ( x / y ) /\ z = ( sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || x } , RR , < ) - sup ( { n e. NN0 | ( p ^ n ) || y } , RR , < ) ) ) ) ) )
7		pnfex 7973	. . 3 |- +oo e. _V
8	5, 6, 7	ovmpoa 5983	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 0 e. QQ ) -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
9	3, 8	mpan2 423	1 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   {crab 2452   ifcif 3526   class class class wbr 3989   iotacio 5158  (class class class)co 5853   supcsup 6959   RRcr 7773   0cc0 7774   +oocpnf 7951   < clt 7954   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   QQcq 9578   ^cexp 10475   || cdvds 11749   Primecprime 12061   pCnt cpc 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-z 9213  df-q 9579  df-pc 12239

This theorem is referenced by:  pcxnn0cl  12264  pcxcl  12265  pcge0  12266  pcdvdsb  12273  pcgcd1  12281  pc2dvds  12283  pcaddlem  12292  pcadd  12293