Theorem pcxnn0cl 12253

Description: Extended nonnegative integer closure of the general prime count function. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pcxnn0cl	|- ( ( P e. Prime /\ N e. ZZ ) -> ( P pCnt N ) e. NN0* )

Proof of Theorem pcxnn0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pc0 12247	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
2		pnf0xnn0 9194	. . . . 5 |- +oo e. NN0*
3	1, 2	eqeltrdi 2261	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) e. NN0* )
4	3	adantr 274	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ZZ ) -> ( P pCnt 0 ) e. NN0* )
5		oveq2 5859	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( P pCnt N ) = ( P pCnt 0 ) )
6	5	eleq1d 2239	. . 3 |- ( N = 0 -> ( ( P pCnt N ) e. NN0* <-> ( P pCnt 0 ) e. NN0* ) )
7	4, 6	syl5ibrcom 156	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 -> ( P pCnt N ) e. NN0* ) )
8		pczcl 12241	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( P pCnt N ) e. NN0 )
9	8	nn0xnn0d 9196	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( P pCnt N ) e. NN0* )
10	9	expr 373	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ZZ ) -> ( N =/= 0 -> ( P pCnt N ) e. NN0* ) )
11		simpr 109	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12		0z 9212	. . . 4 |- 0 e. ZZ
13		zdceq 9276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
14	11, 12, 13	sylancl 411	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
15		dcne 2351	. . 3 |- (DECID N = 0 <-> ( N = 0 \/ N =/= 0 ) )
16	14, 15	sylib 121	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ N =/= 0 ) )
17	7, 10, 16	mpjaod 713	1 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ZZ ) -> ( P pCnt N ) e. NN0* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340  (class class class)co 5851   0cc0 7763   +oocpnf 7940  NN0*cxnn0 9187   ZZcz 9201   Primecprime 12050   pCnt cpc 12227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6510  df-en 6716  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-xnn0 9188  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-dvds 11739  df-gcd 11887  df-prm 12051  df-pc 12228

This theorem is referenced by:  pcgcd  12271