ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcxnn0cl Unicode version

Theorem pcxnn0cl 12253
Description: Extended nonnegative integer closure of the general prime count function. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
pcxnn0cl  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  N )  e. NN0*
)

Proof of Theorem pcxnn0cl
StepHypRef Expression
1 pc0 12247 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = +oo )
2 pnf0xnn0 9194 . . . . 5  |- +oo  e. NN0*
31, 2eqeltrdi 2261 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  e. NN0*
)
43adantr 274 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  0 )  e. NN0*
)
5 oveq2 5859 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( P  pCnt  N )  =  ( P  pCnt  0
) )
65eleq1d 2239 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
( P  pCnt  N
)  e. NN0*  <->  ( P  pCnt  0 )  e. NN0* )
)
74, 6syl5ibrcom 156 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  ->  ( P  pCnt  N )  e. NN0* ) )
8 pczcl 12241 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  e.  NN0 )
98nn0xnn0d 9196 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  e. NN0* )
109expr 373 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =/=  0  ->  ( P  pCnt  N )  e. NN0*
) )
11 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 0z 9212 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
13 zdceq 9276 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
1411, 12, 13sylancl 411 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0
)
15 dcne 2351 . . 3  |-  (DECID  N  =  0  <->  ( N  =  0  \/  N  =/=  0 ) )
1614, 15sylib 121 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  \/  N  =/=  0 ) )
177, 10, 16mpjaod 713 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  N )  e. NN0*
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340  (class class class)co 5851   0cc0 7763   +oocpnf 7940  NN0*cxnn0 9187   ZZcz 9201   Primecprime 12050    pCnt cpc 12227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6510  df-en 6716  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-xnn0 9188  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-dvds 11739  df-gcd 11887  df-prm 12051  df-pc 12228
This theorem is referenced by:  pcgcd  12271
  Copyright terms: Public domain W3C validator