Theorem pcxcl 12964

Description: Extended real closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcxcl	|- ( ( P e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( P pCnt N ) e. RR* )

Proof of Theorem pcxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pc0 12957	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
2		pnfxr 8291	. . . . 5 |- +oo e. RR*
3	1, 2	eqeltrdi 2322	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) e. RR* )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( P pCnt 0 ) e. RR* )
5		oveq2 6036	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( P pCnt N ) = ( P pCnt 0 ) )
6	5	eleq1d 2300	. . 3 |- ( N = 0 -> ( ( P pCnt N ) e. RR* <-> ( P pCnt 0 ) e. RR* ) )
7	4, 6	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( N = 0 -> ( P pCnt N ) e. RR* ) )
8		df-ne 2404	. . 3 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
9		pcqcl 12959	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. QQ /\ N =/= 0 ) ) -> ( P pCnt N ) e. ZZ )
10	9	zred 9663	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. QQ /\ N =/= 0 ) ) -> ( P pCnt N ) e. RR )
11	10	rexrd 8288	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( N e. QQ /\ N =/= 0 ) ) -> ( P pCnt N ) e. RR* )
12	11	expr 375	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( N =/= 0 -> ( P pCnt N ) e. RR* ) )
13	8, 12	biimtrrid 153	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( -. N = 0 -> ( P pCnt N ) e. RR* ) )
14		simpr 110	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. QQ ) -> N e. QQ )
15		0z 9551	. . . 4 |- 0 e. ZZ
16		zq 9921	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- 0 e. QQ
18		qdceq 10567	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID N = 0 )
19		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
21	14, 17, 20	sylancl 413	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
22	7, 13, 21	mpjaod 726	1 |- ( ( P e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( P pCnt N ) e. RR* )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403  (class class class)co 6028   0cc0 8092   +oocpnf 8270   RR*cxr 8272   ZZcz 9540   QQcq 9914   Primecprime 12759   pCnt cpc 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429  df-gcd 12605  df-prm 12760  df-pc 12938

This theorem is referenced by:  pcdvdstr  12980  pcgcd1  12981  pc2dvds  12983  pc11  12984  pcadd  12993  pcadd2  12994