Theorem pc1 13034

Description: Value of the prime count function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc1	|- ( P e. Prime -> ( P pCnt 1 ) = 0 )

Proof of Theorem pc1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9625	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		1ne0 9327	. . 3 |- 1 =/= 0
3		eqid 2234	. . . 4 |- sup ( { n e. NN0 | ( P ^ n ) || 1 } , RR , < ) = sup ( { n e. NN0 | ( P ^ n ) || 1 } , RR , < )
4	3	pczpre 13026	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( 1 e. ZZ /\ 1 =/= 0 ) ) -> ( P pCnt 1 ) = sup ( { n e. NN0 | ( P ^ n ) || 1 } , RR , < ) )
5	1, 2, 4	mpanr12 439	. 2 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 1 ) = sup ( { n e. NN0 | ( P ^ n ) || 1 } , RR , < ) )
6		prmuz2 12859	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
7		eqid 2234	. . 3 |- 1 = 1
8		eqid 2234	. . . 4 |- { n e. NN0 | ( P ^ n ) || 1 } = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || 1 }
9	8, 3	pcpre1 13021	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 1 = 1 ) -> sup ( { n e. NN0 | ( P ^ n ) || 1 } , RR , < ) = 0 )
10	6, 7, 9	sylancl 413	. 2 |- ( P e. Prime -> sup ( { n e. NN0 | ( P ^ n ) || 1 } , RR , < ) = 0 )
11	5, 10	eqtrd 2267	1 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 1 ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   {crab 2526   class class class wbr 4115   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   supcsup 7288   RRcr 8144   0cc0 8145   1c1 8146   < clt 8326   2c2 9310   NN0cn0 9518   ZZcz 9599   ZZ>=cuz 9876   ^cexp 10929   || cdvds 12504   Primecprime 12835   pCnt cpc 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-isom 5368  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-1o 6662  df-2o 6663  df-er 6782  df-en 6991  df-sup 7290  df-inf 7291  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-fl 10659  df-mod 10714  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-dvds 12505  df-gcd 12681  df-prm 12836  df-pc 13014

This theorem is referenced by:  pcrec  13037  pcexp  13038  pcid  13053  pcmpt  13072  pcfac  13079