ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pc0 GIF version

Theorem pc0 12245
Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc0 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)

Proof of Theorem pc0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 𝑝 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 9210 . . 3 0 ∈ ℤ
2 zq 9572 . . 3 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
31, 2ax-mp 5 . 2 0 ∈ ℚ
4 iftrue 3530 . . . 4 (𝑟 = 0 → if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))) = +∞)
54adantl 275 . . 3 ((𝑝 = 𝑃𝑟 = 0) → if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))) = +∞)
6 df-pc 12226 . . 3 pCnt = (𝑝 ∈ ℙ, 𝑟 ∈ ℚ ↦ if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))))
7 pnfex 7960 . . 3 +∞ ∈ V
85, 6, 7ovmpoa 5980 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
93, 8mpan2 423 1 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wrex 2449  {crab 2452  ifcif 3525   class class class wbr 3987  cio 5156  (class class class)co 5850  supcsup 6955  cr 7760  0cc0 7761  +∞cpnf 7938   < clt 7941  cmin 8077   / cdiv 8576  cn 8865  0cn0 9122  cz 9199  cq 9565  cexp 10462  cdvds 11736  cprime 12048   pCnt cpc 12225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-z 9200  df-q 9566  df-pc 12226
This theorem is referenced by:  pcxnn0cl  12251  pcxcl  12252  pcge0  12253  pcdvdsb  12260  pcgcd1  12268  pc2dvds  12270  pcaddlem  12279  pcadd  12280
  Copyright terms: Public domain W3C validator