Theorem pc0 12306

Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc0	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)

Proof of Theorem pc0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 𝑝 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9266	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 9628	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		iftrue 3541	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 0 → if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))) = +∞)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑟 = 0) → if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))) = +∞)
6		df-pc 12287	. . 3 ⊢ pCnt = (𝑝 ∈ ℙ, 𝑟 ∈ ℚ ↦ if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))))
7		pnfex 8013	. . 3 ⊢ +∞ ∈ V
8	5, 6, 7	ovmpoa 6007	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
9	3, 8	mpan2 425	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  {crab 2459  ifcif 3536   class class class wbr 4005  ℩cio 5178  (class class class)co 5877  supcsup 6983  ℝcr 7812  0cc0 7813  +∞cpnf 7991   < clt 7994   − cmin 8130   / cdiv 8631  ℕcn 8921  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ℚcq 9621  ↑cexp 10521   ∥ cdvds 11796  ℙcprime 12109   pCnt cpc 12286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-z 9256  df-q 9622  df-pc 12287

This theorem is referenced by:  pcxnn0cl  12312  pcxcl  12313  pcge0  12314  pcdvdsb  12321  pcgcd1  12329  pc2dvds  12331  pcaddlem  12340  pcadd  12341