Theorem pc0 12232

Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc0	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)

Proof of Theorem pc0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 𝑝 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9198	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 9560	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		iftrue 3524	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 0 → if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))) = +∞)
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑟 = 0) → if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))) = +∞)
6		df-pc 12213	. . 3 ⊢ pCnt = (𝑝 ∈ ℙ, 𝑟 ∈ ℚ ↦ if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))))
7		pnfex 7948	. . 3 ⊢ +∞ ∈ V
8	5, 6, 7	ovmpoa 5968	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
9	3, 8	mpan2 422	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2444  {crab 2447  ifcif 3519   class class class wbr 3981  ℩cio 5150  (class class class)co 5841  supcsup 6943  ℝcr 7748  0cc0 7749  +∞cpnf 7926   < clt 7929   − cmin 8065   / cdiv 8564  ℕcn 8853  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187  ℚcq 9553  ↑cexp 10450   ∥ cdvds 11723  ℙcprime 12035   pCnt cpc 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-z 9188  df-q 9554  df-pc 12213

This theorem is referenced by:  pcxnn0cl  12238  pcxcl  12239  pcge0  12240  pcdvdsb  12247  pcgcd1  12255  pc2dvds  12257  pcaddlem  12266  pcadd  12267