ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcunqu GIF version

Theorem prcunqu 6945
Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcunqu ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈))

Proof of Theorem prcunqu
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6825 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4446 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶Q𝐵Q))
32simprd 112 . . . 4 (𝐶 <Q 𝐵𝐵Q)
43adantl 271 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵Q)
5 breq2 3815 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝐶 <Q 𝑏𝐶 <Q 𝐵))
6 eleq1 2145 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝑈𝐵𝑈))
75, 6imbi12d 232 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶 <Q 𝑏𝑏𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈)))
87imbi2d 228 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈))))
91brel 4446 . . . . . . . 8 (𝐶 <Q 𝑏 → (𝐶Q𝑏Q))
10 an42 552 . . . . . . . . 9 (((𝐶Q𝑏Q) ∧ (𝐶𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐶Q𝐶𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q)))
11 breq1 3814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝑏𝐶 <Q 𝑏))
12 eleq1 2145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑈𝐶𝑈))
1311, 12anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝑏𝐶𝑈)))
1413rspcev 2712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏𝐶𝑈)) → ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))
15 elinp 6934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))))
16 simpr1r 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))) → ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈)))
1715, 16sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈)))
1817r19.21bi 2455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈)))
1914, 18syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏𝐶𝑈)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → 𝑏𝑈))
20193impb 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶Q𝐶 <Q 𝑏𝐶𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → 𝑏𝑈))
21203com12 1143 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 <Q 𝑏𝐶Q𝐶𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → 𝑏𝑈))
22213expib 1142 . . . . . . . . . 10 (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶Q𝐶𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → 𝑏𝑈)))
2322impd 251 . . . . . . . . 9 (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶Q𝐶𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q)) → 𝑏𝑈))
2410, 23syl5bi 150 . . . . . . . 8 (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶Q𝑏Q) ∧ (𝐶𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑏𝑈))
259, 24mpand 420 . . . . . . 7 (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑏𝑈))
2625com12 30 . . . . . 6 ((𝐶𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏𝑈))
2726ancoms 264 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏𝑈))
288, 27vtoclg 2669 . . . 4 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈)))
2928impd 251 . . 3 (𝐵Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵𝑈))
304, 29mpcom 36 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵𝑈)
3130ex 113 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  wss 2984  cop 3425   class class class wbr 3811  Qcnq 6740   <Q cltq 6745  Pcnp 6751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-qs 6226  df-ni 6764  df-nqqs 6808  df-ltnqqs 6813  df-inp 6926
This theorem is referenced by:  prarloc  6963  prarloc2  6964  addnqprulem  6988  nqpru  7012  prmuloc2  7027  mulnqpru  7029  distrlem4pru  7045  1idpru  7051  ltexprlemm  7060  ltexprlemupu  7064  ltexprlemrl  7070  ltexprlemfu  7071  ltexprlemru  7072  aptiprlemu  7100
  Copyright terms: Public domain W3C validator