Theorem prcunqu 7672

Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcunqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prcunqu

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7552	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4771	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
5		breq2 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐶 <Q 𝑏 ↔ 𝐶 <Q 𝐵))
6		eleq1 2292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈)))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))))
9	1	brel 4771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
10		an42 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q)))
11		breq1 4086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝑏 ↔ 𝐶 <Q 𝑏))
12		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
14	13	rspcev 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))
15		elinp 7661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))))
16		simpr1r 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
17	15, 16	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
18	17	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
19	14, 18	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
20	19	3impb 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
21	20	3com12 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
22	21	3expib 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈)))
23	22	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q)) → 𝑏 ∈ 𝑈))
24	10, 23	biimtrid 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑏 ∈ 𝑈))
25	9, 24	mpand 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑏 ∈ 𝑈))
26	25	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈))
27	26	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈))
28	8, 27	vtoclg 2861	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈)))
29	28	impd 254	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑈))
30	4, 29	mpcom 36	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑈)
31	30	ex 115	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  Qcnq 7467   <_Q cltq 7472  Pcnp 7478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-qs 6686  df-ni 7491  df-nqqs 7535  df-ltnqqs 7540  df-inp 7653

This theorem is referenced by:  prarloc  7690  prarloc2  7691  addnqprulem  7715  nqpru  7739  prmuloc2  7754  mulnqpru  7756  distrlem4pru  7772  1idpru  7778  ltexprlemm  7787  ltexprlemupu  7791  ltexprlemrl  7797  ltexprlemfu  7798  ltexprlemru  7799  aptiprlemu  7827  suplocexprlemdisj  7907  suplocexprlemub  7910