ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcunqu GIF version

Theorem prcunqu 7141
Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcunqu ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈))

Proof of Theorem prcunqu
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7021 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4519 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶Q𝐵Q))
32simprd 113 . . . 4 (𝐶 <Q 𝐵𝐵Q)
43adantl 272 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵Q)
5 breq2 3871 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝐶 <Q 𝑏𝐶 <Q 𝐵))
6 eleq1 2157 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝑈𝐵𝑈))
75, 6imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶 <Q 𝑏𝑏𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈)))
87imbi2d 229 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈))))
91brel 4519 . . . . . . . 8 (𝐶 <Q 𝑏 → (𝐶Q𝑏Q))
10 an42 555 . . . . . . . . 9 (((𝐶Q𝑏Q) ∧ (𝐶𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐶Q𝐶𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q)))
11 breq1 3870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝑏𝐶 <Q 𝑏))
12 eleq1 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑈𝐶𝑈))
1311, 12anbi12d 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝑏𝐶𝑈)))
1413rspcev 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏𝐶𝑈)) → ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))
15 elinp 7130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))))
16 simpr1r 1004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))) → ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈)))
1715, 16sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈)))
1817r19.21bi 2473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈)))
1914, 18syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏𝐶𝑈)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → 𝑏𝑈))
20193impb 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶Q𝐶 <Q 𝑏𝐶𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → 𝑏𝑈))
21203com12 1150 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 <Q 𝑏𝐶Q𝐶𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → 𝑏𝑈))
22213expib 1149 . . . . . . . . . 10 (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶Q𝐶𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q) → 𝑏𝑈)))
2322impd 252 . . . . . . . . 9 (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶Q𝐶𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑏Q)) → 𝑏𝑈))
2410, 23syl5bi 151 . . . . . . . 8 (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶Q𝑏Q) ∧ (𝐶𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑏𝑈))
259, 24mpand 421 . . . . . . 7 (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑏𝑈))
2625com12 30 . . . . . 6 ((𝐶𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏𝑈))
2726ancoms 265 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏𝑈))
288, 27vtoclg 2693 . . . 4 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈)))
2928impd 252 . . 3 (𝐵Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵𝑈))
304, 29mpcom 36 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵𝑈)
3130ex 114 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵𝐵𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 667  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445  wral 2370  wrex 2371  wss 3013  cop 3469   class class class wbr 3867  Qcnq 6936   <Q cltq 6941  Pcnp 6947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122
This theorem is referenced by:  prarloc  7159  prarloc2  7160  addnqprulem  7184  nqpru  7208  prmuloc2  7223  mulnqpru  7225  distrlem4pru  7241  1idpru  7247  ltexprlemm  7256  ltexprlemupu  7260  ltexprlemrl  7266  ltexprlemfu  7267  ltexprlemru  7268  aptiprlemu  7296
  Copyright terms: Public domain W3C validator