Theorem prcunqu 7695

Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcunqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prcunqu

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7575	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4776	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
5		breq2 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐶 <Q 𝑏 ↔ 𝐶 <Q 𝐵))
6		eleq1 2292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈)))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))))
9	1	brel 4776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
10		an42 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q)))
11		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝑏 ↔ 𝐶 <Q 𝑏))
12		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
14	13	rspcev 2908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))
15		elinp 7684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))))
16		simpr1r 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
17	15, 16	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
18	17	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
19	14, 18	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
20	19	3impb 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
21	20	3com12 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
22	21	3expib 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈)))
23	22	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q)) → 𝑏 ∈ 𝑈))
24	10, 23	biimtrid 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑏 ∈ 𝑈))
25	9, 24	mpand 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑏 ∈ 𝑈))
26	25	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈))
27	26	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈))
28	8, 27	vtoclg 2862	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈)))
29	28	impd 254	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑈))
30	4, 29	mpcom 36	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑈)
31	30	ex 115	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3198  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  Qcnq 7490   <_Q cltq 7495  Pcnp 7501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-qs 6703  df-ni 7514  df-nqqs 7558  df-ltnqqs 7563  df-inp 7676

This theorem is referenced by:  prarloc  7713  prarloc2  7714  addnqprulem  7738  nqpru  7762  prmuloc2  7777  mulnqpru  7779  distrlem4pru  7795  1idpru  7801  ltexprlemm  7810  ltexprlemupu  7814  ltexprlemrl  7820  ltexprlemfu  7821  ltexprlemru  7822  aptiprlemu  7850  suplocexprlemdisj  7930  suplocexprlemub  7933