Theorem prcunqu 7842

Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcunqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prcunqu

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7722	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4822	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
5		breq2 4129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐶 <Q 𝑏 ↔ 𝐶 <Q 𝐵))
6		eleq1 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈)))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))))
9	1	brel 4822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
10		an42 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q)))
11		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝑏 ↔ 𝐶 <Q 𝑏))
12		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
13	11, 12	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
14	13	rspcev 2929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))
15		elinp 7831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))))
16		simpr1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
17	15, 16	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
18	17	r19.21bi 2638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
19	14, 18	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
20	19	3impb 1230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
21	20	3com12 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
22	21	3expib 1237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈)))
23	22	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q)) → 𝑏 ∈ 𝑈))
24	10, 23	biimtrid 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑏 ∈ 𝑈))
25	9, 24	mpand 433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑏 ∈ 𝑈))
26	25	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈))
27	26	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈))
28	8, 27	vtoclg 2883	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈)))
29	28	impd 254	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑈))
30	4, 29	mpcom 36	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑈)
31	30	ex 115	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125  Qcnq 7637   <_Q cltq 7642  Pcnp 7648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-qs 6803  df-ni 7661  df-nqqs 7705  df-ltnqqs 7710  df-inp 7823

This theorem is referenced by:  prarloc  7860  prarloc2  7861  addnqprulem  7885  nqpru  7909  prmuloc2  7924  mulnqpru  7926  distrlem4pru  7942  1idpru  7948  ltexprlemm  7957  ltexprlemupu  7961  ltexprlemrl  7967  ltexprlemfu  7968  ltexprlemru  7969  aptiprlemu  7997  suplocexprlemdisj  8077  suplocexprlemub  8080