Theorem prcunqu 7858

Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcunqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prcunqu

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7738	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4829	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
5		breq2 4135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐶 <Q 𝑏 ↔ 𝐶 <Q 𝐵))
6		eleq1 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈)))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))))
9	1	brel 4829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
10		an42 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q)))
11		breq1 4134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝑏 ↔ 𝐶 <Q 𝑏))
12		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
13	11, 12	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
14	13	rspcev 2929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))
15		elinp 7847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))))
16		simpr1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
17	15, 16	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
18	17	r19.21bi 2638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)))
19	14, 18	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
20	19	3impb 1230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
21	20	3com12 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 <Q 𝑏 ∧ 𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈))
22	21	3expib 1237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ 𝑈)))
23	22	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q)) → 𝑏 ∈ 𝑈))
24	10, 23	biimtrid 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑏 ∈ 𝑈))
25	9, 24	mpand 433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑏 ∈ 𝑈))
26	25	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈))
27	26	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ 𝑈))
28	8, 27	vtoclg 2883	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈)))
29	28	impd 254	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑈))
30	4, 29	mpcom 36	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑈)
31	30	ex 115	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  Qcnq 7653   <_Q cltq 7658  Pcnp 7664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-qs 6817  df-ni 7677  df-nqqs 7721  df-ltnqqs 7726  df-inp 7839

This theorem is used by:  prarloc  7876  prarloc2  7877  addnqprulem  7901  nqpru  7925  prmuloc2  7940  mulnqpru  7942  distrlem4pru  7958  1idpru  7964  ltexprlemm  7973  ltexprlemupu  7977  ltexprlemrl  7983  ltexprlemfu  7984  ltexprlemru  7985  aptiprlemu  8013  suplocexprlemdisj  8093  suplocexprlemub  8096