Theorem prm23ge5 13043

Description: A prime is either 2 or 3 or greater than or equal to 5. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23ge5	|- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )

Proof of Theorem prm23ge5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9469	. . . . . 6 |- 5 e. NN
2	1	nnzi 9665	. . . . 5 |- 5 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 5 <_ P ) -> 5 e. ZZ )
4		prmz 12889	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 5 <_ P ) -> P e. ZZ )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 5 <_ P ) -> 5 <_ P )
7		eluz2 9927	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) <-> ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anbrc 1212	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ 5 <_ P ) -> P e. ( ZZ>= ` 5 ) )
9	8	3mix3d 1205	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 5 <_ P ) -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
10		prm23lt5 13042	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> ( P = 2 \/ P = 3 ) )
11	10	orcd 745	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> ( ( P = 2 \/ P = 3 ) \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
12		df-3or 1010	. . 3 |- ( ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) <-> ( ( P = 2 \/ P = 3 ) \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
13	11, 12	sylibr 134	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
14		zlelttric 9689	. . 3 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 5 <_ P \/ P < 5 ) )
15	2, 4, 14	sylancr 418	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 5 <_ P \/ P < 5 ) )
16	9, 13, 15	mpjaodan 810	1 |- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   < clt 8360   <_ cle 8361   2c2 9355   3c3 9356   5c5 9358   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   Primecprime 12885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-prm 12886

This theorem is used by:  gausslemma2dlem0f  16173  gausslemma2dlem4  16183