Theorem prm23lt5 12191

Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23lt5	|- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> ( P = 2 \/ P = 3 ) )

Proof of Theorem prm23lt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12038	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
2	1	nnnn0d 9163	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. NN0 )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> P e. NN0 )
4		4nn0 9129	. . . 4 |- 4 e. NN0
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> 4 e. NN0 )
6		df-5 8915	. . . . . 6 |- 5 = ( 4 + 1 )
7	6	breq2i 3989	. . . . 5 |- ( P < 5 <-> P < ( 4 + 1 ) )
8		prmz 12039	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
9		4z 9217	. . . . . . 7 |- 4 e. ZZ
10		zleltp1 9242	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( P <_ 4 <-> P < ( 4 + 1 ) ) )
11	8, 9, 10	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P <_ 4 <-> P < ( 4 + 1 ) ) )
12	11	biimprd 157	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P < ( 4 + 1 ) -> P <_ 4 ) )
13	7, 12	syl5bi 151	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P < 5 -> P <_ 4 ) )
14	13	imp 123	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> P <_ 4 )
15		elfz2nn0 10043	. . 3 |- ( P e. ( 0 ... 4 ) <-> ( P e. NN0 /\ 4 e. NN0 /\ P <_ 4 ) )
16	3, 5, 14, 15	syl3anbrc 1171	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> P e. ( 0 ... 4 ) )
17		fz0to4untppr 10055	. . . 4 |- ( 0 ... 4 ) = ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } )
18	17	eleq2i 2232	. . 3 |- ( P e. ( 0 ... 4 ) <-> P e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } ) )
19		elun 3262	. . . . . 6 |- ( P e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } ) <-> ( P e. { 0 , 1 , 2 } \/ P e. { 3 , 4 } ) )
20		eltpi 3622	. . . . . . . 8 |- ( P e. { 0 , 1 , 2 } -> ( P = 0 \/ P = 1 \/ P = 2 ) )
21		nnne0 8881	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> P =/= 0 )
22		eqneqall 2345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P = 0 -> ( P =/= 0 -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
23	22	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( P =/= 0 -> ( P = 0 -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
24	1, 21, 23	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> ( P = 0 -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
25	24	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( P = 0 -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
26		eleq1 2228	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 1 -> ( P e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
27		1nprm 12042	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 e. Prime
28	27	pm2.21i 636	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) )
29	26, 28	syl6bi 162	. . . . . . . . 9 |- ( P = 1 -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
30		orc 702	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 2 -> ( P = 2 \/ P = 3 ) )
31	30	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( P = 2 -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
32	25, 29, 31	3jaoi 1293	. . . . . . . 8 |- ( ( P = 0 \/ P = 1 \/ P = 2 ) -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
33	20, 32	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. { 0 , 1 , 2 } -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
34		elpri 3598	. . . . . . . 8 |- ( P e. { 3 , 4 } -> ( P = 3 \/ P = 4 ) )
35		olc 701	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 3 -> ( P = 2 \/ P = 3 ) )
36	35	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( P = 3 -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
37		eleq1 2228	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 4 -> ( P e. Prime <-> 4 e. Prime ) )
38		4nprm 12057	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 e. Prime
39	38	pm2.21i 636	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) )
40	37, 39	syl6bi 162	. . . . . . . . 9 |- ( P = 4 -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
41	36, 40	jaoi 706	. . . . . . . 8 |- ( ( P = 3 \/ P = 4 ) -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
42	34, 41	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. { 3 , 4 } -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
43	33, 42	jaoi 706	. . . . . 6 |- ( ( P e. { 0 , 1 , 2 } \/ P e. { 3 , 4 } ) -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
44	19, 43	sylbi 120	. . . . 5 |- ( P e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } ) -> ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
45	44	com12 30	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } ) -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
46	45	adantr 274	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> ( P e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } ) -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
47	18, 46	syl5bi 151	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> ( P e. ( 0 ... 4 ) -> ( P = 2 \/ P = 3 ) ) )
48	16, 47	mpd 13	1 |- ( ( P e. Prime /\ P < 5 ) -> ( P = 2 \/ P = 3 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   u. cun 3113   {cpr 3576   {ctp 3577   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   <_ cle 7930   NNcn 8853   2c2 8904   3c3 8905   4c4 8906   5c5 8907   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ...cfz 9940   Primecprime 12035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-tp 3583  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-er 6497  df-en 6703  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-prm 12036

This theorem is referenced by:  prm23ge5  12192