Theorem pws0g 13450

Description: The identity in a structure power of a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	|- Y = ( R ^s I )
pws0g.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
pws0g	|- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` Y ) )

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables x r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2209	. . 3 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> I e. V )
3		scaslid 13152	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
4	3	slotex 13025	. . . 4 |- ( R e. Mnd -> (Scalar ` R ) e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
6		fconst6g 5500	. . . 4 |- ( R e. Mnd -> ( I X. { R } ) : I --> Mnd )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) : I --> Mnd )
8	1, 2, 5, 7	prds0g 13448	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g o. ( I X. { R } ) ) = ( 0g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
9		fconstmpt 4743	. . 3 |- ( I X. { .0. } ) = ( x e. I |-> .0. )
10		elex 2791	. . . . 5 |- ( R e. Mnd -> R e. _V )
11	10	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) /\ x e. I ) -> R e. _V )
12		fconstmpt 4743	. . . . 5 |- ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R )
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R ) )
14		fn0g 13374	. . . . 5 |- 0g Fn _V
15		dffn5im 5652	. . . . 5 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( r e. _V |-> ( 0g ` r ) ) )
16	14, 15	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> 0g = ( r e. _V |-> ( 0g ` r ) ) )
17		fveq2 5603	. . . . 5 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
18		pws0g.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
19	17, 18	eqtr4di 2260	. . . 4 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
20	11, 13, 16, 19	fmptco 5774	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g o. ( I X. { R } ) ) = ( x e. I |-> .0. ) )
21	9, 20	eqtr4id 2261	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g o. ( I X. { R } ) ) )
22		pwsmnd.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
23		eqid 2209	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
24	22, 23	pwsval 13290	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
25	24	fveq2d 5607	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g ` Y ) = ( 0g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
26	8, 21, 25	3eqtr4d 2252	1 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   _Vcvv 2779   {csn 3646   |-> cmpt 4124   X. cxp 4694   o. ccom 4700   Fn wfn 5289   -->wf 5290   ` cfv 5294  (class class class)co 5974  Scalarcsca 13079   0gc0g 13255   X__scprds 13264   ^_s cpws 13265   Mndcmnd 13415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266  df-pws 13289  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416

This theorem is referenced by: (None)