Theorem pws0g 13685

Description: The identity in a structure power of a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	|- Y = ( R ^s I )
pws0g.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
pws0g	|- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` Y ) )

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables x r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> I e. V )
3		scaslid 13387	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
4	3	slotex 13260	. . . 4 |- ( R e. Mnd -> (Scalar ` R ) e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
6		fconst6g 5568	. . . 4 |- ( R e. Mnd -> ( I X. { R } ) : I --> Mnd )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) : I --> Mnd )
8	1, 2, 5, 7	prds0g 13683	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g o. ( I X. { R } ) ) = ( 0g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
9		fconstmpt 4799	. . 3 |- ( I X. { .0. } ) = ( x e. I |-> .0. )
10		elex 2827	. . . . 5 |- ( R e. Mnd -> R e. _V )
11	10	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) /\ x e. I ) -> R e. _V )
12		fconstmpt 4799	. . . . 5 |- ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R )
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R ) )
14		fn0g 13609	. . . . 5 |- 0g Fn _V
15		dffn5im 5724	. . . . 5 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( r e. _V |-> ( 0g ` r ) ) )
16	14, 15	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> 0g = ( r e. _V |-> ( 0g ` r ) ) )
17		fveq2 5672	. . . . 5 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
18		pws0g.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
19	17, 18	eqtr4di 2285	. . . 4 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
20	11, 13, 16, 19	fmptco 5845	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g o. ( I X. { R } ) ) = ( x e. I |-> .0. ) )
21	9, 20	eqtr4id 2286	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g o. ( I X. { R } ) ) )
22		pwsmnd.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
23		eqid 2234	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
24	22, 23	pwsval 13525	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
25	24	fveq2d 5676	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g ` Y ) = ( 0g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
26	8, 21, 25	3eqtr4d 2277	1 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3691   |-> cmpt 4173   X. cxp 4749   o. ccom 4755   Fn wfn 5349   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052  Scalarcsca 13314   0gc0g 13490   X__scprds 13499   ^_s cpws 13500   Mndcmnd 13650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-ixp 6936  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-fz 10349  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-ip 13329  df-tset 13330  df-ple 13331  df-ds 13333  df-hom 13335  df-cco 13336  df-rest 13475  df-topn 13476  df-0g 13492  df-topgen 13494  df-pt 13495  df-prds 13501  df-pws 13524  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651

This theorem is referenced by: (None)