Theorem pws0g 13527

Description: The identity in a structure power of a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	|- Y = ( R ^s I )
pws0g.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
pws0g	|- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` Y ) )

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables x r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> I e. V )
3		scaslid 13229	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
4	3	slotex 13102	. . . 4 |- ( R e. Mnd -> (Scalar ` R ) e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
6		fconst6g 5532	. . . 4 |- ( R e. Mnd -> ( I X. { R } ) : I --> Mnd )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) : I --> Mnd )
8	1, 2, 5, 7	prds0g 13525	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g o. ( I X. { R } ) ) = ( 0g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
9		fconstmpt 4771	. . 3 |- ( I X. { .0. } ) = ( x e. I |-> .0. )
10		elex 2812	. . . . 5 |- ( R e. Mnd -> R e. _V )
11	10	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) /\ x e. I ) -> R e. _V )
12		fconstmpt 4771	. . . . 5 |- ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R )
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R ) )
14		fn0g 13451	. . . . 5 |- 0g Fn _V
15		dffn5im 5687	. . . . 5 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( r e. _V |-> ( 0g ` r ) ) )
16	14, 15	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> 0g = ( r e. _V |-> ( 0g ` r ) ) )
17		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
18		pws0g.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
19	17, 18	eqtr4di 2280	. . . 4 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
20	11, 13, 16, 19	fmptco 5809	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g o. ( I X. { R } ) ) = ( x e. I |-> .0. ) )
21	9, 20	eqtr4id 2281	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g o. ( I X. { R } ) ) )
22		pwsmnd.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
23		eqid 2229	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
24	22, 23	pwsval 13367	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
25	24	fveq2d 5639	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g ` Y ) = ( 0g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
26	8, 21, 25	3eqtr4d 2272	1 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   {csn 3667   |-> cmpt 4148   X. cxp 4721   o. ccom 4727   Fn wfn 5319   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013  Scalarcsca 13156   0gc0g 13332   X__scprds 13341   ^_s cpws 13342   Mndcmnd 13492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-ixp 6863  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-fz 10237  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-hom 13177  df-cco 13178  df-rest 13317  df-topn 13318  df-0g 13334  df-topgen 13336  df-pt 13337  df-prds 13343  df-pws 13366  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493

This theorem is referenced by: (None)