Theorem pws0g 13505

Description: The identity in a structure power of a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	|- Y = ( R ^s I )
pws0g.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
pws0g	|- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` Y ) )

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables x r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> I e. V )
3		scaslid 13207	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
4	3	slotex 13080	. . . 4 |- ( R e. Mnd -> (Scalar ` R ) e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
6		fconst6g 5529	. . . 4 |- ( R e. Mnd -> ( I X. { R } ) : I --> Mnd )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) : I --> Mnd )
8	1, 2, 5, 7	prds0g 13503	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g o. ( I X. { R } ) ) = ( 0g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
9		fconstmpt 4768	. . 3 |- ( I X. { .0. } ) = ( x e. I |-> .0. )
10		elex 2811	. . . . 5 |- ( R e. Mnd -> R e. _V )
11	10	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) /\ x e. I ) -> R e. _V )
12		fconstmpt 4768	. . . . 5 |- ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R )
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R ) )
14		fn0g 13429	. . . . 5 |- 0g Fn _V
15		dffn5im 5684	. . . . 5 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( r e. _V |-> ( 0g ` r ) ) )
16	14, 15	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> 0g = ( r e. _V |-> ( 0g ` r ) ) )
17		fveq2 5632	. . . . 5 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
18		pws0g.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
19	17, 18	eqtr4di 2280	. . . 4 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
20	11, 13, 16, 19	fmptco 5806	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g o. ( I X. { R } ) ) = ( x e. I |-> .0. ) )
21	9, 20	eqtr4id 2281	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g o. ( I X. { R } ) ) )
22		pwsmnd.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
23		eqid 2229	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
24	22, 23	pwsval 13345	. . 3 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
25	24	fveq2d 5636	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( 0g ` Y ) = ( 0g ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
26	8, 21, 25	3eqtr4d 2272	1 |- ( ( R e. Mnd /\ I e. V ) -> ( I X. { .0. } ) = ( 0g ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   |-> cmpt 4145   X. cxp 4718   o. ccom 4724   Fn wfn 5316   -->wf 5317   ` cfv 5321  (class class class)co 6010  Scalarcsca 13134   0gc0g 13310   X__scprds 13319   ^_s cpws 13320   Mndcmnd 13470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-hom 13155  df-cco 13156  df-rest 13295  df-topn 13296  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-prds 13321  df-pws 13344  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471

This theorem is referenced by: (None)