Theorem pwsval 13290

Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsval.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsval.f	|- F = (Scalar ` R )

Assertion

Ref	Expression
pwsval	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )

Proof of Theorem pwsval

Dummy variables i r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsval.y	. 2 |- Y = ( R ^s I )
2		elex 2791	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> R e. _V )
4		elex 2791	. . . 4 |- ( I e. W -> I e. _V )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. _V )
6		pwsval.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` R )
7		scaslid 13152	. . . . . . 7 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 13025	. . . . . 6 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) e. _V )
9	6, 8	eqeltrid 2296	. . . . 5 |- ( R e. V -> F e. _V )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> F e. _V )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. W )
12		snexg 4247	. . . . . 6 |- ( R e. V -> { R } e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> { R } e. _V )
14		xpexg 4810	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ { R } e. _V ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
16		prdsex 13268	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ ( I X. { R } ) e. _V ) -> ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V )
17	10, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V )
18		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> r = R )
19	18	fveq2d 5607	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> (Scalar ` r ) = (Scalar ` R ) )
20	19, 6	eqtr4di 2260	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> (Scalar ` r ) = F )
21		id 19	. . . . . 6 |- ( i = I -> i = I )
22		sneq 3657	. . . . . 6 |- ( r = R -> { r } = { R } )
23		xpeq12 4715	. . . . . 6 |- ( ( i = I /\ { r } = { R } ) -> ( i X. { r } ) = ( I X. { R } ) )
24	21, 22, 23	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> ( i X. { r } ) = ( I X. { R } ) )
25	20, 24	oveq12d 5992	. . . 4 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> ( (Scalar ` r ) X_s ( i X. { r } ) ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
26		df-pws 13289	. . . 4 |- ^s = ( r e. _V , i e. _V |-> ( (Scalar ` r ) X_s ( i X. { r } ) ) )
27	25, 26	ovmpoga 6105	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ I e. _V /\ ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V ) -> ( R ^s I ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
28	3, 5, 17, 27	syl3anc 1252	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( R ^s I ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
29	1, 28	eqtrid 2254	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   _Vcvv 2779   {csn 3646   X. cxp 4694   ` cfv 5294  (class class class)co 5974  Scalarcsca 13079   X__scprds 13264   ^_s cpws 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-sup 7119  df-sub 8287  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-dec 9547  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266  df-pws 13289

This theorem is referenced by:  pwsbas  13291  pwsplusgval  13294  pwsmulrval  13295  pwsmnd  13449  pws0g  13450  pwsgrp  13610  pwsinvg  13611