Theorem pwsval 14312

Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsval.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsval.f	|- F = (Scalar ` R )

Assertion

Ref	Expression
pwsval	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )

Proof of Theorem pwsval

Dummy variables i r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsval.y	. 2 |- Y = ( R ^s I )
2		elex 2833	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> R e. _V )
4		elex 2833	. . . 4 |- ( I e. W -> I e. _V )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. _V )
6		pwsval.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` R )
7		scaslid 13567	. . . . . . 7 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 13438	. . . . . 6 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) e. _V )
9	6, 8	eqeltrid 2325	. . . . 5 |- ( R e. V -> F e. _V )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> F e. _V )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. W )
12		snexg 4323	. . . . . 6 |- ( R e. V -> { R } e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> { R } e. _V )
14		xpexg 4891	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ { R } e. _V ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
15	11, 13, 14	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
16		prdsex 14280	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ ( I X. { R } ) e. _V ) -> ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V )
17	10, 15, 16	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V )
18		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> r = R )
19	18	fveq2d 5702	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> (Scalar ` r ) = (Scalar ` R ) )
20	19, 6	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> (Scalar ` r ) = F )
21		id 19	. . . . . 6 |- ( i = I -> i = I )
22		sneq 3720	. . . . . 6 |- ( r = R -> { r } = { R } )
23		xpeq12 4795	. . . . . 6 |- ( ( i = I /\ { r } = { R } ) -> ( i X. { r } ) = ( I X. { R } ) )
24	21, 22, 23	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> ( i X. { r } ) = ( I X. { R } ) )
25	20, 24	oveq12d 6106	. . . 4 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> ( (Scalar ` r ) X_s ( i X. { r } ) ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
26		df-pws 14311	. . . 4 |- ^s = ( r e. _V , i e. _V |-> ( (Scalar ` r ) X_s ( i X. { r } ) ) )
27	25, 26	ovmpoga 6221	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ I e. _V /\ ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V ) -> ( R ^s I ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
28	3, 5, 17, 27	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( R ^s I ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
29	1, 28	eqtrid 2283	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   X. cxp 4774   ` cfv 5380  (class class class)co 6088  Scalarcsca 13494   X__scprds 14277   ^_s cpws 14310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6986  df-sup 7331  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-hom 13515  df-cco 13516  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-prds 14278  df-pws 14311

This theorem is used by:  pwsbas  14313  pwsplusgval  14316  pwsmulrval  14317  pwsmnd  14320  pws0g  14321  pwsgrp  14322  pwsinvg  14323