Theorem pwsval 13502

Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsval.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsval.f	|- F = (Scalar ` R )

Assertion

Ref	Expression
pwsval	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )

Proof of Theorem pwsval

Dummy variables i r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsval.y	. 2 |- Y = ( R ^s I )
2		elex 2825	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> R e. _V )
4		elex 2825	. . . 4 |- ( I e. W -> I e. _V )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. _V )
6		pwsval.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` R )
7		scaslid 13364	. . . . . . 7 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 13237	. . . . . 6 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) e. _V )
9	6, 8	eqeltrid 2319	. . . . 5 |- ( R e. V -> F e. _V )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> F e. _V )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. W )
12		snexg 4297	. . . . . 6 |- ( R e. V -> { R } e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> { R } e. _V )
14		xpexg 4864	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ { R } e. _V ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
16		prdsex 13480	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ ( I X. { R } ) e. _V ) -> ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V )
17	10, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V )
18		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> r = R )
19	18	fveq2d 5674	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> (Scalar ` r ) = (Scalar ` R ) )
20	19, 6	eqtr4di 2283	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> (Scalar ` r ) = F )
21		id 19	. . . . . 6 |- ( i = I -> i = I )
22		sneq 3700	. . . . . 6 |- ( r = R -> { r } = { R } )
23		xpeq12 4768	. . . . . 6 |- ( ( i = I /\ { r } = { R } ) -> ( i X. { r } ) = ( I X. { R } ) )
24	21, 22, 23	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> ( i X. { r } ) = ( I X. { R } ) )
25	20, 24	oveq12d 6068	. . . 4 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> ( (Scalar ` r ) X_s ( i X. { r } ) ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
26		df-pws 13501	. . . 4 |- ^s = ( r e. _V , i e. _V |-> ( (Scalar ` r ) X_s ( i X. { r } ) ) )
27	25, 26	ovmpoga 6183	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ I e. _V /\ ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V ) -> ( R ^s I ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
28	3, 5, 17, 27	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( R ^s I ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
29	1, 28	eqtrid 2277	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   {csn 3689   X. cxp 4747   ` cfv 5352  (class class class)co 6050  Scalarcsca 13291   X__scprds 13476   ^_s cpws 13477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-ixp 6934  df-sup 7275  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13213  df-slot 13214  df-base 13216  df-plusg 13301  df-mulr 13302  df-sca 13304  df-vsca 13305  df-ip 13306  df-tset 13307  df-ple 13308  df-ds 13310  df-hom 13312  df-cco 13313  df-rest 13452  df-topn 13453  df-topgen 13471  df-pt 13472  df-prds 13478  df-pws 13501

This theorem is referenced by:  pwsbas  13503  pwsplusgval  13506  pwsmulrval  13507  pwsmnd  13661  pws0g  13662  pwsgrp  13822  pwsinvg  13823