Theorem pwsval 12993

Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsval.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsval.f	|- F = (Scalar ` R )

Assertion

Ref	Expression
pwsval	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )

Proof of Theorem pwsval

Dummy variables i r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsval.y	. 2 |- Y = ( R ^s I )
2		elex 2774	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> R e. _V )
4		elex 2774	. . . 4 |- ( I e. W -> I e. _V )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. _V )
6		pwsval.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` R )
7		scaslid 12855	. . . . . . 7 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 12730	. . . . . 6 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) e. _V )
9	6, 8	eqeltrid 2283	. . . . 5 |- ( R e. V -> F e. _V )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> F e. _V )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. W )
12		snexg 4218	. . . . . 6 |- ( R e. V -> { R } e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> { R } e. _V )
14		xpexg 4778	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ { R } e. _V ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
16		prdsex 12971	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ ( I X. { R } ) e. _V ) -> ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V )
17	10, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V )
18		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> r = R )
19	18	fveq2d 5565	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> (Scalar ` r ) = (Scalar ` R ) )
20	19, 6	eqtr4di 2247	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> (Scalar ` r ) = F )
21		id 19	. . . . . 6 |- ( i = I -> i = I )
22		sneq 3634	. . . . . 6 |- ( r = R -> { r } = { R } )
23		xpeq12 4683	. . . . . 6 |- ( ( i = I /\ { r } = { R } ) -> ( i X. { r } ) = ( I X. { R } ) )
24	21, 22, 23	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> ( i X. { r } ) = ( I X. { R } ) )
25	20, 24	oveq12d 5943	. . . 4 |- ( ( r = R /\ i = I ) -> ( (Scalar ` r ) X_s ( i X. { r } ) ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
26		df-pws 12992	. . . 4 |- ^s = ( r e. _V , i e. _V |-> ( (Scalar ` r ) X_s ( i X. { r } ) ) )
27	25, 26	ovmpoga 6056	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ I e. _V /\ ( F X_s ( I X. { R } ) ) e. _V ) -> ( R ^s I ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
28	3, 5, 17, 27	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( R ^s I ) = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )
29	1, 28	eqtrid 2241	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( F X_s ( I X. { R } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3623   X. cxp 4662   ` cfv 5259  (class class class)co 5925  Scalarcsca 12783   X__scprds 12967   ^_s cpws 12968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-sup 7059  df-sub 8216  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-dec 9475  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-hom 12804  df-cco 12805  df-rest 12943  df-topn 12944  df-topgen 12962  df-pt 12963  df-prds 12969  df-pws 12992

This theorem is referenced by:  pwsbas  12994  pwsplusgval  12997  pwsmulrval  12998  pwsmnd  13152  pws0g  13153  pwsgrp  13313  pwsinvg  13314