Theorem pws0g 13653

Description: The identity in a structure power of a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pws0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		scaslid 13355	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
4	3	slotex 13228	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6		fconst6g 5565	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
8	1, 2, 5, 7	prds0g 13651	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9		fconstmpt 4796	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
10		elex 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ V)
11	10	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
12		fconstmpt 4796	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
14		fn0g 13577	. . . . 5 ⊢ 0g Fn V
15		dffn5im 5721	. . . . 5 ⊢ (0g Fn V → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
16	14, 15	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
17		fveq2 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
18		pws0g.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	17, 18	eqtr4di 2283	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
20	11, 13, 16, 19	fmptco 5842	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
21	9, 20	eqtr4id 2284	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})))
22		pwsmnd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
23		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
24	22, 23	pwsval 13493	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
25	24	fveq2d 5673	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
26	8, 21, 25	3eqtr4d 2275	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  {csn 3688   ↦ cmpt 4170   × cxp 4746   ∘ ccom 4752   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Scalarcsca 13282  0_gc0g 13458  X_scprds 13467   ↑_s cpws 13468  Mndcmnd 13618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-hom 13303  df-cco 13304  df-rest 13443  df-topn 13444  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-pt 13463  df-prds 13469  df-pws 13492  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619

This theorem is referenced by: (None)