Theorem pws0g 13557

Description: The identity in a structure power of a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pws0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2230	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		scaslid 13259	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
4	3	slotex 13132	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6		fconst6g 5538	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
8	1, 2, 5, 7	prds0g 13555	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9		fconstmpt 4775	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
10		elex 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ V)
11	10	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
12		fconstmpt 4775	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
14		fn0g 13481	. . . . 5 ⊢ 0g Fn V
15		dffn5im 5694	. . . . 5 ⊢ (0g Fn V → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
16	14, 15	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
17		fveq2 5642	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
18		pws0g.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	17, 18	eqtr4di 2281	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
20	11, 13, 16, 19	fmptco 5816	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
21	9, 20	eqtr4id 2282	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})))
22		pwsmnd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
23		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
24	22, 23	pwsval 13397	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
25	24	fveq2d 5646	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
26	8, 21, 25	3eqtr4d 2273	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801  {csn 3670   ↦ cmpt 4151   × cxp 4725   ∘ ccom 4731   Fn wfn 5323  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Scalarcsca 13186  0_gc0g 13362  X_scprds 13371   ↑_s cpws 13372  Mndcmnd 13522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-sup 7188  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-hom 13207  df-cco 13208  df-rest 13347  df-topn 13348  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-prds 13373  df-pws 13396  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523

This theorem is referenced by: (None)