Theorem pws0g 14196

Description: The identity in a structure power of a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pws0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		scaslid 13490	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
4	3	slotex 13362	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6		fconst6g 5589	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
8	1, 2, 5, 7	prds0g 14178	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9		fconstmpt 4820	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
10		elex 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ V)
11	10	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
12		fconstmpt 4820	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
14		fn0g 13678	. . . . 5 ⊢ 0g Fn V
15		dffn5im 5745	. . . . 5 ⊢ (0g Fn V → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
16	14, 15	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
17		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
18		pws0g.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	17, 18	eqtr4di 2289	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
20	11, 13, 16, 19	fmptco 5868	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
21	9, 20	eqtr4id 2290	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})))
22		pwsmnd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
23		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
24	22, 23	pwsval 14187	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
25	24	fveq2d 5697	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
26	8, 21, 25	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3708   ↦ cmpt 4190   × cxp 4770   ∘ ccom 4776   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Scalarcsca 13417  0_gc0g 13593  Mndcmnd 13712  X_scprds 14152   ↑_s cpws 14185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918  df-ixp 6975  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-hom 13438  df-cco 13439  df-rest 13578  df-topn 13579  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-pt 13598  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-prds 14153  df-pws 14186

This theorem is referenced by: (None)