Theorem reapmul1 8738

Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 8931. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapmul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8142	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reaplt 8731	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
4	3	pm5.32i 454	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
5		simp1 1021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 8171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simp3l 1049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulneg2d 8554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · -𝐶) = -(𝐴 · 𝐶))
10		simp2 1022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 8171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11, 8	mulneg2d 8554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · -𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
13	9, 12	breq12d 4095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
14	7	renegcld 8522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -𝐶 ∈ ℝ)
15		simp3r 1050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
16	7	lt0neg1d 8658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18		reapmul1lem 8737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
19	5, 10, 14, 17, 18	syl112anc 1275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
20	5, 7	remulcld 8173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
21	10, 7	remulcld 8173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	20, 21	ltnegd 8666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)))
23	21, 20	ltnegd 8666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
24	22, 23	orbi12d 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
25		reaplt 8731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
26	20, 21, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
27	20	renegcld 8522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28	21	renegcld 8522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
29		reaplt 8731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
31		orcom 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
32	30, 31	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
33	24, 26, 32	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
34	13, 19, 33	3bitr4d 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
35	34	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
36	35	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 0) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
37		reapmul1lem 8737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
38	37	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
39	38	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
40	36, 39	jaodan 802	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
41	40	anasss 399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
42	4, 41	sylan2b 287	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
43	42	3impa 1218	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995   · cmul 8000   < clt 8177  -cneg 8314   # cap 8724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725

This theorem is referenced by: (None)