Theorem reapmul1 8616

Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 8809. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapmul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8021	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reaplt 8609	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
4	3	pm5.32i 454	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
5		simp1 999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simp3l 1027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulneg2d 8433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · -𝐶) = -(𝐴 · 𝐶))
10		simp2 1000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11, 8	mulneg2d 8433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · -𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
13	9, 12	breq12d 4043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
14	7	renegcld 8401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -𝐶 ∈ ℝ)
15		simp3r 1028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
16	7	lt0neg1d 8536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18		reapmul1lem 8615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
19	5, 10, 14, 17, 18	syl112anc 1253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
20	5, 7	remulcld 8052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
21	10, 7	remulcld 8052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	20, 21	ltnegd 8544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)))
23	21, 20	ltnegd 8544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
24	22, 23	orbi12d 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
25		reaplt 8609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
26	20, 21, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
27	20	renegcld 8401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28	21	renegcld 8401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
29		reaplt 8609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
31		orcom 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
32	30, 31	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
33	24, 26, 32	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
34	13, 19, 33	3bitr4d 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
35	34	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
36	35	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 0) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
37		reapmul1lem 8615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
38	37	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
39	38	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
40	36, 39	jaodan 798	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
41	40	anasss 399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
42	4, 41	sylan2b 287	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
43	42	3impa 1196	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874   · cmul 7879   < clt 8056  -cneg 8193   # cap 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

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