Theorem reapmul1 8650

Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 8843. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapmul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8054	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reaplt 8643	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
4	3	pm5.32i 454	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
5		simp1 999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 8083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simp3l 1027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulneg2d 8466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · -𝐶) = -(𝐴 · 𝐶))
10		simp2 1000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 8083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11, 8	mulneg2d 8466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · -𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
13	9, 12	breq12d 4056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
14	7	renegcld 8434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -𝐶 ∈ ℝ)
15		simp3r 1028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
16	7	lt0neg1d 8570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18		reapmul1lem 8649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
19	5, 10, 14, 17, 18	syl112anc 1253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
20	5, 7	remulcld 8085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
21	10, 7	remulcld 8085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	20, 21	ltnegd 8578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)))
23	21, 20	ltnegd 8578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
24	22, 23	orbi12d 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
25		reaplt 8643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
26	20, 21, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
27	20	renegcld 8434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28	21	renegcld 8434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
29		reaplt 8643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
31		orcom 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
32	30, 31	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
33	24, 26, 32	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
34	13, 19, 33	3bitr4d 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
35	34	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
36	35	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 0) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
37		reapmul1lem 8649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
38	37	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
39	38	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
40	36, 39	jaodan 798	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
41	40	anasss 399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
42	4, 41	sylan2b 287	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
43	42	3impa 1196	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  ℝcr 7906  0cc0 7907   · cmul 7912   < clt 8089  -cneg 8226   # cap 8636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637

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