ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reapmul1 GIF version

Theorem reapmul1 8552
Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 8745. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
reapmul1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem reapmul1
StepHypRef Expression
1 0re 7957 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
2 reaplt 8545 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ # 0 โ†” (๐ถ < 0 โˆจ 0 < ๐ถ)))
31, 2mpan2 425 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถ # 0 โ†” (๐ถ < 0 โˆจ 0 < ๐ถ)))
43pm5.32i 454 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ # 0) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ < 0 โˆจ 0 < ๐ถ)))
5 simp1 997 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65recnd 7986 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 simp3l 1025 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
87recnd 7986 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
96, 8mulneg2d 8369 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (๐ด ยท -๐ถ) = -(๐ด ยท ๐ถ))
10 simp2 998 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1110recnd 7986 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1211, 8mulneg2d 8369 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (๐ต ยท -๐ถ) = -(๐ต ยท ๐ถ))
139, 12breq12d 4017 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ((๐ด ยท -๐ถ) # (๐ต ยท -๐ถ) โ†” -(๐ด ยท ๐ถ) # -(๐ต ยท ๐ถ)))
147renegcld 8337 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ -๐ถ โˆˆ โ„)
15 simp3r 1026 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ๐ถ < 0)
167lt0neg1d 8472 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (๐ถ < 0 โ†” 0 < -๐ถ))
1715, 16mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ 0 < -๐ถ)
18 reapmul1lem 8551 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (-๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ถ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท -๐ถ) # (๐ต ยท -๐ถ)))
195, 10, 14, 17, 18syl112anc 1242 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท -๐ถ) # (๐ต ยท -๐ถ)))
205, 7remulcld 7988 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2110, 7remulcld 7988 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2220, 21ltnegd 8480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†” -(๐ต ยท ๐ถ) < -(๐ด ยท ๐ถ)))
2321, 20ltnegd 8480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ) โ†” -(๐ด ยท ๐ถ) < -(๐ต ยท ๐ถ)))
2422, 23orbi12d 793 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)) โ†” (-(๐ต ยท ๐ถ) < -(๐ด ยท ๐ถ) โˆจ -(๐ด ยท ๐ถ) < -(๐ต ยท ๐ถ))))
25 reaplt 8545 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))))
2620, 21, 25syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))))
2720renegcld 8337 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ -(๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2821renegcld 8337 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ -(๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
29 reaplt 8545 . . . . . . . . . . 11 ((-(๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง -(๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (-(๐ด ยท ๐ถ) # -(๐ต ยท ๐ถ) โ†” (-(๐ด ยท ๐ถ) < -(๐ต ยท ๐ถ) โˆจ -(๐ต ยท ๐ถ) < -(๐ด ยท ๐ถ))))
3027, 28, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (-(๐ด ยท ๐ถ) # -(๐ต ยท ๐ถ) โ†” (-(๐ด ยท ๐ถ) < -(๐ต ยท ๐ถ) โˆจ -(๐ต ยท ๐ถ) < -(๐ด ยท ๐ถ))))
31 orcom 728 . . . . . . . . . 10 ((-(๐ด ยท ๐ถ) < -(๐ต ยท ๐ถ) โˆจ -(๐ต ยท ๐ถ) < -(๐ด ยท ๐ถ)) โ†” (-(๐ต ยท ๐ถ) < -(๐ด ยท ๐ถ) โˆจ -(๐ด ยท ๐ถ) < -(๐ต ยท ๐ถ)))
3230, 31bitrdi 196 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (-(๐ด ยท ๐ถ) # -(๐ต ยท ๐ถ) โ†” (-(๐ต ยท ๐ถ) < -(๐ด ยท ๐ถ) โˆจ -(๐ด ยท ๐ถ) < -(๐ต ยท ๐ถ))))
3324, 26, 323bitr4d 220 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†” -(๐ด ยท ๐ถ) # -(๐ต ยท ๐ถ)))
3413, 19, 333bitr4d 220 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
35343expa 1203 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
3635anassrs 400 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ < 0) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
37 reapmul1lem 8551 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
38373expa 1203 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
3938anassrs 400 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
4036, 39jaodan 797 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ < 0 โˆจ 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
4140anasss 399 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ < 0 โˆจ 0 < ๐ถ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
424, 41sylan2b 287 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
43423impa 1194 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„cr 7810  0cc0 7811   ยท cmul 7816   < clt 7992  -cneg 8129   # cap 8538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator