Theorem reapmul1 8357

Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 8548. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapmul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7766	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reaplt 8350	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
3	1, 2	mpan2 421	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
4	3	pm5.32i 449	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
5		simp1 981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simp3l 1009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulneg2d 8174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · -𝐶) = -(𝐴 · 𝐶))
10		simp2 982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11, 8	mulneg2d 8174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · -𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
13	9, 12	breq12d 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
14	7	renegcld 8142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -𝐶 ∈ ℝ)
15		simp3r 1010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
16	7	lt0neg1d 8277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
17	15, 16	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18		reapmul1lem 8356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
19	5, 10, 14, 17, 18	syl112anc 1220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
20	5, 7	remulcld 7796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
21	10, 7	remulcld 7796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	20, 21	ltnegd 8285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)))
23	21, 20	ltnegd 8285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
24	22, 23	orbi12d 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
25		reaplt 8350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
26	20, 21, 25	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
27	20	renegcld 8142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28	21	renegcld 8142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
29		reaplt 8350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
30	27, 28, 29	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
31		orcom 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
32	30, 31	syl6bb 195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
33	24, 26, 32	3bitr4d 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
34	13, 19, 33	3bitr4d 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
35	34	3expa 1181	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
36	35	anassrs 397	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 0) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
37		reapmul1lem 8356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
38	37	3expa 1181	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
39	38	anassrs 397	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
40	36, 39	jaodan 786	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
41	40	anasss 396	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
42	4, 41	sylan2b 285	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
43	42	3impa 1176	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620   · cmul 7625   < clt 7800  -cneg 7934   # cap 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344

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