Theorem recvguniq 11739

Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniq.lre	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
recvguniq.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
recvguniq.mre	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
recvguniq.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
recvguniq	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝐿,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem recvguniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniq.lre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
2		recvguniq.mre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		reaplt 8906	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿)))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿)))
5		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
6	5	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
7		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
8	7	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
9	6, 8	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
10		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
11	10	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
12	7	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
13	11, 12	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
14	9, 13	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))))
15	14	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))))
16		recvguniq.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
17		recvguniq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
18		r19.26 2677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
19	16, 17, 18	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
20		nnuz 9937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rexanuz2 11735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
22	21	ralbii 2556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
23	19, 22	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
24	20	r19.2uz 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
25	24	ralimi 2613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
26	23, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
28		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝐿 < 𝑀)
29	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℝ)
30	2	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31		difrp 10072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+))
32	29, 30, 31	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+))
33	28, 32	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+)
34	33	rphalfcld 10089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ((𝑀 − 𝐿) / 2) ∈ ℝ+)
35	15, 27, 34	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
36		recvguniq.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
38	2	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	1	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
40		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		simprrr 546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))) → 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
43		simprll 543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
44	43	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
45	37, 38, 39, 40, 42, 44	recvguniqlem 11738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → ⊥)
46	35, 45	rexlimddv 2673	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ⊥)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 𝑀 → ⊥))
48		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
49	48	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
50		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
51	50	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
52	49, 51	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
53		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
54	53	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
55	50	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
56	54, 55	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
57	52, 56	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))))
58	57	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))))
59	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
60		difrp 10072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+))
61	2, 1, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+))
62	61	biimpa 296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+)
63	62	rphalfcld 10089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ((𝐿 − 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
64	58, 59, 63	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
65	36	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
66	1	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
67	2	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
69		simprlr 544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
70	69	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
71		simprrl 545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
72	71	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
73	65, 66, 67, 68, 70, 72	recvguniqlem 11738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → ⊥)
74	64, 73	rexlimddv 2673	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ⊥)
75	74	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 → ⊥))
76	47, 75	jaod 729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿) → ⊥))
77	4, 76	sylbid 150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
78		dfnot 1420	. . 3 ⊢ (¬ 𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
79	77, 78	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 # 𝑀)
80	1	recnd 8344	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
81	2	recnd 8344	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
82		apti 8940	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
83	80, 81, 82	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
84	79, 83	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402  ⊥wfal 1407   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4125  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   − cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  ℤ_≥cuz 9900  ℝ⁺crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11768