Theorem recvguniq 10988

Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniq.lre	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
recvguniq.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
recvguniq.mre	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
recvguniq.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
recvguniq	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝐿,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem recvguniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniq.lre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
2		recvguniq.mre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		reaplt 8535	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿)))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿)))
5		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
6	5	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
7		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
8	7	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
9	6, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
10		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
11	10	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
12	7	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
14	9, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))))
15	14	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))))
16		recvguniq.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
17		recvguniq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
18		r19.26 2603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
19	16, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
20		nnuz 9552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rexanuz2 10984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
22	21	ralbii 2483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
23	19, 22	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
24	20	r19.2uz 10986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
25	24	ralimi 2540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
26	23, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
28		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝐿 < 𝑀)
29	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℝ)
30	2	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31		difrp 9679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+))
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+))
33	28, 32	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+)
34	33	rphalfcld 9696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ((𝑀 − 𝐿) / 2) ∈ ℝ+)
35	15, 27, 34	rspcdva 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
36		recvguniq.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
38	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
40		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		simprrr 540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))) → 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
43		simprll 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
44	43	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
45	37, 38, 39, 40, 42, 44	recvguniqlem 10987	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → ⊥)
46	35, 45	rexlimddv 2599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ⊥)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 𝑀 → ⊥))
48		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
49	48	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
50		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
51	50	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
52	49, 51	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
53		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
54	53	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
55	50	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
56	54, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
57	52, 56	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))))
58	57	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))))
59	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
60		difrp 9679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+))
61	2, 1, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+))
62	61	biimpa 296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+)
63	62	rphalfcld 9696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ((𝐿 − 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
64	58, 59, 63	rspcdva 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
65	36	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
66	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
67	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
69		simprlr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
70	69	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
71		simprrl 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
72	71	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
73	65, 66, 67, 68, 70, 72	recvguniqlem 10987	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → ⊥)
74	64, 73	rexlimddv 2599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ⊥)
75	74	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 → ⊥))
76	47, 75	jaod 717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿) → ⊥))
77	4, 76	sylbid 150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
78		dfnot 1371	. . 3 ⊢ (¬ 𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
79	77, 78	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 # 𝑀)
80	1	recnd 7976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
81	2	recnd 7976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
82		apti 8569	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
83	80, 81, 82	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
84	79, 83	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353  ⊥wfal 1358   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   class class class wbr 4000  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   − cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  ℕcn 8908  2c2 8959  ℤ_≥cuz 9517  ℝ⁺crp 9640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11017