Theorem recvguniq 10760

Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniq.lre	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
recvguniq.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
recvguniq.mre	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
recvguniq.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
recvguniq	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝐿,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem recvguniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniq.lre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
2		recvguniq.mre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		reaplt 8343	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿)))
4	1, 2, 3	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿)))
5		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
6	5	breq2d 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
7		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
8	7	breq2d 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
9	6, 8	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
10		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
11	10	breq2d 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
12	7	breq2d 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
13	11, 12	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
14	9, 13	anbi12d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))))
15	14	rexbidv 2436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))))
16		recvguniq.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
17		recvguniq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
18		r19.26 2556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
19	16, 17, 18	sylanbrc 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
20		nnuz 9354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rexanuz2 10756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
22	21	ralbii 2439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
23	19, 22	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
24	20	r19.2uz 10758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
25	24	ralimi 2493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
26	23, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
27	26	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
28		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝐿 < 𝑀)
29	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℝ)
30	2	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31		difrp 9473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+))
32	29, 30, 31	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+))
33	28, 32	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ+)
34	33	rphalfcld 9489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ((𝑀 − 𝐿) / 2) ∈ ℝ+)
35	15, 27, 34	rspcdva 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
36		recvguniq.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
38	2	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	1	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
40		simprl 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		simprrr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))) → 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
42	41	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
43		simprll 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
44	43	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
45	37, 38, 39, 40, 42, 44	recvguniqlem 10759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → ⊥)
46	35, 45	rexlimddv 2552	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ⊥)
47	46	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 𝑀 → ⊥))
48		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
49	48	breq2d 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
50		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
51	50	breq2d 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
52	49, 51	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
53		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
54	53	breq2d 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
55	50	breq2d 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
56	54, 55	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
57	52, 56	anbi12d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))))
58	57	rexbidv 2436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))))
59	26	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
60		difrp 9473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+))
61	2, 1, 60	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+))
62	61	biimpa 294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ+)
63	62	rphalfcld 9489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ((𝐿 − 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
64	58, 59, 63	rspcdva 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
65	36	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
66	1	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
67	2	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		simprl 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
69		simprlr 527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
70	69	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
71		simprrl 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
72	71	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
73	65, 66, 67, 68, 70, 72	recvguniqlem 10759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → ⊥)
74	64, 73	rexlimddv 2552	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ⊥)
75	74	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 → ⊥))
76	47, 75	jaod 706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿) → ⊥))
77	4, 76	sylbid 149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
78		dfnot 1349	. . 3 ⊢ (¬ 𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
79	77, 78	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 # 𝑀)
80	1	recnd 7787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
81	2	recnd 7787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
82		apti 8377	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
83	80, 81, 82	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
84	79, 83	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331  ⊥wfal 1336   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793   − cmin 7926   # cap 8336   / cdiv 8425  ℕcn 8713  2c2 8764  ℤ_≥cuz 9319  ℝ⁺crp 9434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10789