ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvguniq GIF version

Theorem recvguniq 10798
Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniq.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniq.lre (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
recvguniq.l (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
recvguniq.mre (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
recvguniq.m (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
recvguniq (𝜑𝐿 = 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝐿,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem recvguniq
StepHypRef Expression
1 recvguniq.lre . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2 recvguniq.mre . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3 reaplt 8373 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀𝑀 < 𝐿)))
41, 2, 3syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀𝑀 < 𝐿)))
5 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)))
65breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2))))
7 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → ((𝐹𝑘) + 𝑥) = ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))
87breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → (𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))))
96, 8anbi12d 465 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))
10 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)))
1110breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2))))
127breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → (𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))))
1311, 12anbi12d 465 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → (((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))
149, 13anbi12d 465 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → ((((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))))))
1514rexbidv 2439 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑀𝐿) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))))))
16 recvguniq.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
17 recvguniq.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
18 r19.26 2561 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
1916, 17, 18sylanbrc 414 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
20 nnuz 9384 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
2120rexanuz2 10794 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
2221ralbii 2444 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
2319, 22sylibr 133 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
2420r19.2uz 10796 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
2524ralimi 2498 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
2623, 25syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
2726adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
28 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 < 𝑀)
291adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℝ)
302adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31 difrp 9508 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀𝐿) ∈ ℝ+))
3229, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀𝐿) ∈ ℝ+))
3328, 32mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀𝐿) ∈ ℝ+)
3433rphalfcld 9525 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((𝑀𝐿) / 2) ∈ ℝ+)
3515, 27, 34rspcdva 2797 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))
36 recvguniq.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3736ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
382ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
391ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
40 simprl 521 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 simprrr 530 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))))) → 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))
4241adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))) → 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))
43 simprll 527 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))))) → (𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)))
4443adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))) → (𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)))
4537, 38, 39, 40, 42, 44recvguniqlem 10797 . . . . . . 7 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝑀𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝑀𝐿) / 2)))))) → ⊥)
4635, 45rexlimddv 2557 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ⊥)
4746ex 114 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 < 𝑀 → ⊥))
48 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)))
4948breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → ((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2))))
50 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → ((𝐹𝑘) + 𝑥) = ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))
5150breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → (𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))))
5249, 51anbi12d 465 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))
53 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)))
5453breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2))))
5550breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → (𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))))
5654, 55anbi12d 465 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → (((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))
5752, 56anbi12d 465 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → ((((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))))))
5857rexbidv 2439 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝐿𝑀) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))))))
5926adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 < 𝐿) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
60 difrp 9508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿𝑀) ∈ ℝ+))
612, 1, 60syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿𝑀) ∈ ℝ+))
6261biimpa 294 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 < 𝐿) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ+)
6362rphalfcld 9525 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 < 𝐿) → ((𝐿𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
6458, 59, 63rspcdva 2797 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 < 𝐿) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))
6536ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
661ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
672ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
68 simprl 521 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
69 simprlr 528 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))))) → 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))
7069adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))) → 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))
71 simprrl 529 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))))) → (𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)))
7271adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))) → (𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)))
7365, 66, 67, 68, 70, 72recvguniqlem 10797 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹𝑘) < (𝐿 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) < (𝑀 + ((𝐿𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹𝑘) + ((𝐿𝑀) / 2)))))) → ⊥)
7464, 73rexlimddv 2557 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝐿) → ⊥)
7574ex 114 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 → ⊥))
7647, 75jaod 707 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿 < 𝑀𝑀 < 𝐿) → ⊥))
774, 76sylbid 149 . . 3 (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
78 dfnot 1350 . . 3 𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
7977, 78sylibr 133 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐿 # 𝑀)
801recnd 7817 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
812recnd 7817 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
82 apti 8407 . . 3 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
8380, 81, 82syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
8479, 83mpbird 166 1 (𝜑𝐿 = 𝑀)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wfal 1337  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   class class class wbr 3936  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642  1c1 7644   + caddc 7646   < clt 7823  cmin 7956   # cap 8366   / cdiv 8455  cn 8743  2c2 8794  cuz 9349  +crp 9469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10827
  Copyright terms: Public domain W3C validator