recvguniq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recvguniq 11004

Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
recvguniq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniq.lre	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
recvguniq.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
recvguniq.mre	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
recvguniq.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))

**Assertion**
Ref	Expression
recvguniq	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑀)

Distinct variable groups: 𝑗,𝐹,𝑥 𝑗,𝐿,𝑘,𝑥 𝑗,𝑀,𝑘,𝑥 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑗) 𝐹(𝑘)

**Proof of Theorem recvguniq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniq.lre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
2		recvguniq.mre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		reaplt 8545	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿)))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿)))
5		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
6	5	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
7		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
8	7	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
9	6, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
10		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
11	10	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
12	7	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
14	9, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → ((((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))))
15	14	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 − 𝐿) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))))
16		recvguniq.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
17		recvguniq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
18		r19.26 2603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
19	16, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
20		nnuz 9563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
21	20	rexanuz2 11000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
22	21	ralbii 2483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
23	19, 22	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
24	20	r19.2uz 11002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
25	24	ralimi 2540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
26	23, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
28		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝐿 < 𝑀)
29	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℝ)
30	2	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31		difrp 9692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ⁺))
33	28, 32	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℝ⁺)
34	33	rphalfcld 9709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ((𝑀 − 𝐿) / 2) ∈ ℝ⁺)
35	15, 27, 34	rspcdva 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))
36		recvguniq.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
38	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
40		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		simprrr 540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))) → 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
43		simprll 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
44	43	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))
45	37, 38, 39, 40, 42, 44	recvguniqlem 11003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝑀 − 𝐿) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝑀 − 𝐿) / 2)))))) → ⊥)
46	35, 45	rexlimddv 2599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 𝑀) → ⊥)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 < 𝑀 → ⊥))
48		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝐿 + 𝑥) = (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
49	48	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
50		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
51	50	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
52	49, 51	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
53		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
54	53	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
55	50	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))
56	54, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
57	52, 56	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → ((((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))))
58	57	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐿 − 𝑀) / 2) → (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))))
59	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + 𝑥) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + 𝑥) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
60		difrp 9692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ⁺))
61	2, 1, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ⁺))
62	61	biimpa 296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ⁺)
63	62	rphalfcld 9709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ((𝐿 − 𝑀) / 2) ∈ ℝ⁺)
64	58, 59, 63	rspcdva 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))
65	36	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
66	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
67	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
69		simprlr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
70	69	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
71		simprrl 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
72	71	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → (𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))
73	65, 66, 67, 68, 70, 72	recvguniqlem 11003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (((𝐹‘𝑘) < (𝐿 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) < (𝑀 + ((𝐿 − 𝑀) / 2)) ∧ 𝑀 < ((𝐹‘𝑘) + ((𝐿 − 𝑀) / 2)))))) → ⊥)
74	64, 73	rexlimddv 2599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 < 𝐿) → ⊥)
75	74	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝐿 → ⊥))
76	47, 75	jaod 717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝐿) → ⊥))
77	4, 76	sylbid 150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
78		dfnot 1371	. . 3 ⊢ (¬ 𝐿 # 𝑀 ↔ (𝐿 # 𝑀 → ⊥))
79	77, 78	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 # 𝑀)
80	1	recnd 7986	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
81	2	recnd 7986	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
82		apti 8579	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
83	80, 81, 82	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑀 ↔ ¬ 𝐿 # 𝑀))
84	79, 83	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑀)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 708 = wceq 1353 ⊥wfal 1358 ∈ wcel 2148 ∀wral 2455 ∃wrex 2456 class class class wbr 4004 ⟶wf 5213 ‘cfv 5217 (class class class)co 5875 ℂcc 7809 ℝcr 7810 1c1 7812 + caddc 7814 < clt 7992 − cmin 8128 # cap 8538 / cdiv 8629 ℕcn 8919 2c2 8970 ℤ_≥cuz 9528 ℝ⁺crp 9653

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4122 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-rp 9654

This theorem is referenced by: resqrexlemsqa 11033

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