Theorem rspcl 14047

Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14020	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rlmbasg 14011	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
4	2, 3	eqtrid 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	sseq2d 3213	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
7		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
10	7, 8, 9	lspcl 13947	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11	1, 6, 10	syl2an2r 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13		rspvalg 14028	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
14	12, 13	eqtrid 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
15	14	fveq1d 5560	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
16		rspcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
17		lidlvalg 14027	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
18	16, 17	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
19	15, 18	eleq12d 2267	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
20	19	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
21	11, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5258  Basecbs 12678  Ringcrg 13552  LModclmod 13843  LSubSpclss 13908  LSpanclspn 13942  ringLModcrglmod 13990  LIdealclidl 14023  RSpancrsp 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-subg 13300  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-subrg 13775  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-rsp 14026

This theorem is referenced by:  znlidl  14190  zndvds  14205