Theorem rspcl 14800

Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14773	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rlmbasg 14764	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
4	2, 3	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	sseq2d 3278	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
7		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
10	7, 8, 9	lspcl 14700	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11	1, 6, 10	syl2an2r 603	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13		rspvalg 14781	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
14	12, 13	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
15	14	fveq1d 5692	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
16		rspcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
17		lidlvalg 14780	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
18	16, 17	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
19	15, 18	eleq12d 2309	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
20	19	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
21	11, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5372  Basecbs 13330  Ringcrg 14274  LModclmod 14596  LSubSpclss 14661  LSpanclspn 14695  ringLModcrglmod 14743  LIdealclidl 14776  RSpancrsp 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-ip 13426  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-subg 13950  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-subrg 14500  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696  df-sra 14744  df-rgmod 14745  df-lidl 14778  df-rsp 14779

This theorem is referenced by:  znlidl  14941  zndvds  14956