Theorem rspcl 14171

Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14144	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rlmbasg 14135	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
4	2, 3	eqtrid 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	sseq2d 3222	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
7		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
10	7, 8, 9	lspcl 14071	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11	1, 6, 10	syl2an2r 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13		rspvalg 14152	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
14	12, 13	eqtrid 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
15	14	fveq1d 5572	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
16		rspcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
17		lidlvalg 14151	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
18	16, 17	eqtrid 2249	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
19	15, 18	eleq12d 2275	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
20	19	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
21	11, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ⊆ wss 3165  ‘cfv 5268  Basecbs 12751  Ringcrg 13676  LModclmod 13967  LSubSpclss 14032  LSpanclspn 14066  ringLModcrglmod 14114  LIdealclidl 14147  RSpancrsp 14148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-ip 12846  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-sbg 13255  df-subg 13424  df-mgp 13601  df-ur 13640  df-ring 13678  df-subrg 13899  df-lmod 13969  df-lssm 14033  df-lsp 14067  df-sra 14115  df-rgmod 14116  df-lidl 14149  df-rsp 14150

This theorem is referenced by:  znlidl  14314  zndvds  14329