Theorem rspcl 14639

Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14612	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rlmbasg 14603	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
4	2, 3	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	sseq2d 3268	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
7		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
10	7, 8, 9	lspcl 14539	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11	1, 6, 10	syl2an2r 599	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13		rspvalg 14620	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
14	12, 13	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
15	14	fveq1d 5672	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
16		rspcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
17		lidlvalg 14619	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
18	16, 17	eqtrid 2277	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
19	15, 18	eleq12d 2303	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
20	19	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
21	11, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3211  ‘cfv 5352  Basecbs 13212  Ringcrg 14140  LModclmod 14435  LSubSpclss 14500  LSpanclspn 14534  ringLModcrglmod 14582  LIdealclidl 14615  RSpancrsp 14616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-ip 13308  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-subg 13887  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-subrg 14364  df-lmod 14437  df-lssm 14501  df-lsp 14535  df-sra 14583  df-rgmod 14584  df-lidl 14617  df-rsp 14618

This theorem is referenced by:  znlidl  14782  zndvds  14797