ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subgmulgcl GIF version

Theorem subgmulgcl 13000
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgmulgcl.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
subgmulgcl ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem subgmulgcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
2 subgmulgcl.t . 2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 eqid 2177 . 2 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
4 subgrcl 12992 . 2 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
51subgss 12987 . 2 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
63subgcl 12997 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
7 eqid 2177 . 2 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
87subg0cl 12995 . 2 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘†)
9 eqid 2177 . 2 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
109subginvcl 12996 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mulgsubcl 12951 1 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„คcz 9251  Basecbs 12456  +gcplusg 12530  0gc0g 12695  Grpcgrp 12831  invgcminusg 12832  .gcmg 12937  SubGrpcsubg 12980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-mulg 12938  df-subg 12983
This theorem is referenced by:  subgmulg  13001  zsssubrg  13370
  Copyright terms: Public domain W3C validator