Theorem swrd00g 11229

Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd00g	|- ( ( S e. V /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )

Proof of Theorem swrd00g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. . 3 |- ( S e. V -> S e. _V )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. V /\ X e. ZZ ) -> S e. _V )
3		simpr 110	. 2 |- ( ( S e. V /\ X e. ZZ ) -> X e. ZZ )
4		swrdval 11228	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) )
5		fzo0 10404	. . . . . 6 |- ( X..^ X ) = (/)
6		0ss 3533	. . . . . 6 |- (/) C_ dom S
7	5, 6	eqsstri 3259	. . . . 5 |- ( X..^ X ) C_ dom S
8	7	iftruei 3611	. . . 4 |- if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) )
9		zcn 9483	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. ZZ -> X e. CC )
10	9	subidd 8477	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ZZ -> ( X - X ) = 0 )
11	10	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( X e. ZZ -> ( 0..^ ( X - X ) ) = ( 0..^ 0 ) )
12	11	3ad2ant2 1045	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( 0..^ ( X - X ) ) = ( 0..^ 0 ) )
13		fzo0 10404	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
14	12, 13	eqtrdi 2280	. . . . . 6 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( 0..^ ( X - X ) ) = (/) )
15	14	mpteq1d 4174	. . . . 5 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) )
16		mpt0 5460	. . . . 5 |- ( x e. (/) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = (/)
17	15, 16	eqtrdi 2280	. . . 4 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = (/) )
18	8, 17	eqtrid 2276	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) = (/) )
19	4, 18	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )
20	2, 3, 3, 19	syl3anc 1273	1 |- ( ( S e. V /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   <.cop 3672   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   + caddc 8034   - cmin 8349   ZZcz 9478  ..^cfzo 10376   substr csubstr 11225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-substr 11226

This theorem is referenced by:  pfx00g  11255  swrdccatin1  11305  swrdccat3blem  11319