Theorem swrd00g 11443

Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd00g	|- ( ( S e. V /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )

Proof of Theorem swrd00g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( S e. V -> S e. _V )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. V /\ X e. ZZ ) -> S e. _V )
3		simpr 110	. 2 |- ( ( S e. V /\ X e. ZZ ) -> X e. ZZ )
4		swrdval 11442	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) )
5		fzo0 10594	. . . . . 6 |- ( X..^ X ) = (/)
6		0ss 3561	. . . . . 6 |- (/) C_ dom S
7	5, 6	eqsstri 3280	. . . . 5 |- ( X..^ X ) C_ dom S
8	7	iftruei 3646	. . . 4 |- if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) )
9		zcn 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. ZZ -> X e. CC )
10	9	subidd 8632	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ZZ -> ( X - X ) = 0 )
11	10	oveq2d 6104	. . . . . . . 8 |- ( X e. ZZ -> ( 0..^ ( X - X ) ) = ( 0..^ 0 ) )
12	11	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( 0..^ ( X - X ) ) = ( 0..^ 0 ) )
13		fzo0 10594	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
14	12, 13	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( 0..^ ( X - X ) ) = (/) )
15	14	mpteq1d 4217	. . . . 5 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) )
16		mpt0 5514	. . . . 5 |- ( x e. (/) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = (/)
17	15, 16	eqtrdi 2287	. . . 4 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = (/) )
18	8, 17	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) = (/) )
19	4, 18	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )
20	2, 3, 3, 19	syl3anc 1278	1 |- ( ( S e. V /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   <.cop 3712   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   + caddc 8188   - cmin 8504   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566   substr csubstr 11439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-substr 11440

This theorem is used by:  pfx00g  11469  swrdccatin1  11519  swrdccat3blem  11533