Theorem swrd00g 11176

Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd00g	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)

Proof of Theorem swrd00g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ V)
3		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
4		swrdval 11175	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅))
5		fzo0 10362	. . . . . 6 ⊢ (𝑋..^𝑋) = ∅
6		0ss 3530	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝑆
7	5, 6	eqsstri 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆
8	7	iftruei 3608	. . . 4 ⊢ if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋)))
9		zcn 9447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9	subidd 8441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 − 𝑋) = 0)
11	10	oveq2d 6016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = (0..^0))
12	11	3ad2ant2 1043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = (0..^0))
13		fzo0 10362	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = ∅)
15	14	mpteq1d 4168	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))))
16		mpt0 5450	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅)
18	8, 17	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = ∅)
19	4, 18	eqtrd 2262	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
20	2, 3, 3, 19	syl3anc 1271	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ifcif 3602  ⟨cop 3669   ↦ cmpt 4144  dom cdm 4718  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  0cc0 7995   + caddc 7998   − cmin 8313  ℤcz 9442  ..^cfzo 10334   substr csubstr 11172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-substr 11173

This theorem is referenced by:  pfx00g  11202  swrdccatin1  11252  swrdccat3blem  11266