Theorem swrd00g 11421

Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd00g	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)

Proof of Theorem swrd00g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ V)
3		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
4		swrdval 11420	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅))
5		fzo0 10577	. . . . . 6 ⊢ (𝑋..^𝑋) = ∅
6		0ss 3561	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝑆
7	5, 6	eqsstri 3280	. . . . 5 ⊢ (𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆
8	7	iftruei 3646	. . . 4 ⊢ if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋)))
9		zcn 9649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9	subidd 8625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 − 𝑋) = 0)
11	10	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = (0..^0))
12	11	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = (0..^0))
13		fzo0 10577	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = ∅)
15	14	mpteq1d 4216	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))))
16		mpt0 5511	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅)
18	8, 17	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = ∅)
19	4, 18	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
20	2, 3, 3, 19	syl3anc 1278	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  ⟨cop 3712   ↦ cmpt 4192  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179   + caddc 8182   − cmin 8497  ℤcz 9644  ..^cfzo 10549   substr csubstr 11417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-substr 11418

This theorem is used by:  pfx00g  11447  swrdccatin1  11497  swrdccat3blem  11511