Theorem swrdswrdlem 11278

Description: Lemma for swrdswrd 11279. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdswrdlem	|- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )

Proof of Theorem swrdswrdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1024	. 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> W e. Word V )
2		elfz2 10243	. . . . . 6 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) <-> ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) )
3		elfz2nn0 10340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ K <_ ( N - M ) ) )
4		elfz2nn0 10340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
5		nn0addcl 9430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( M + K ) e. NN0 )
6	5	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( M + K ) e. NN0 )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ K <_ L ) -> ( M + K ) e. NN0 )
8		elnn0z 9485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
9		0red 8173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> 0 e. RR )
10		zre 9476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
12		zre 9476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
14		letr 8255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> 0 <_ L ) )
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> 0 <_ L ) )
16		elnn0z 9485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( L e. NN0 <-> ( L e. ZZ /\ 0 <_ L ) )
17		nn0addcl 9430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M + L ) e. NN0 )
18	17	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( L e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( M + L ) e. NN0 ) )
19	16, 18	sylbir 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( L e. ZZ /\ 0 <_ L ) -> ( M e. NN0 -> ( M + L ) e. NN0 ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( L e. ZZ -> ( 0 <_ L -> ( M e. NN0 -> ( M + L ) e. NN0 ) ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ L -> ( M e. NN0 -> ( M + L ) e. NN0 ) ) )
22	15, 21	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> ( M e. NN0 -> ( M + L ) e. NN0 ) ) )
23	22	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ K -> ( K <_ L -> ( M e. NN0 -> ( M + L ) e. NN0 ) ) ) )
24	23	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ K -> ( M e. NN0 -> ( K <_ L -> ( M + L ) e. NN0 ) ) ) )
25	24	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) -> ( L e. ZZ -> ( M e. NN0 -> ( K <_ L -> ( M + L ) e. NN0 ) ) ) )
26	8, 25	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( K e. NN0 -> ( L e. ZZ -> ( M e. NN0 -> ( K <_ L -> ( M + L ) e. NN0 ) ) ) )
27	26	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ L -> ( M + L ) e. NN0 ) ) )
28	27	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( K <_ L -> ( M + L ) e. NN0 ) )
29	28	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ K <_ L ) -> ( M + L ) e. NN0 )
30		nn0re 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> K e. RR )
33	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> L e. RR )
35		nn0re 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> M e. RR )
37	32, 34, 36	leadd2d 8713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( K <_ L <-> ( M + K ) <_ ( M + L ) ) )
38	37	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ K <_ L ) -> ( M + K ) <_ ( M + L ) )
39	7, 29, 38	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ K <_ L ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) )
40	39	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN0 -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( K <_ L -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> ( K <_ L -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) )
42	41	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K <_ L -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) )
43	4, 42	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ L -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) )
44	43	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ L -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) )
45	44	com13 80	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( K <_ L -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) )
46	45	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN0 -> ( L e. ZZ -> ( K <_ L -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) ) )
47	46	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ K <_ ( N - M ) ) -> ( L e. ZZ -> ( K <_ L -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) ) )
48	3, 47	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( L e. ZZ -> ( K <_ L -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) ) )
49	48	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( K <_ L -> ( L e. ZZ -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) ) )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( L e. ZZ -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) ) )
51	50	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) ) )
52	51	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) ) )
53	52	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) )
54	2, 53	sylbi 121	. . . . 5 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) ) )
55	54	impcom 125	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) ) )
56	55	impcom 125	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) )
57		elfz2nn0 10340	. . 3 |- ( ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) <-> ( ( M + K ) e. NN0 /\ ( M + L ) e. NN0 /\ ( M + K ) <_ ( M + L ) ) )
58	56, 57	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) )
59		elfz2nn0 10340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) <-> ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) )
60	28	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K <_ L -> ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( M + L ) e. NN0 ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( M + L ) e. NN0 ) )
62	61	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) -> ( M + L ) e. NN0 )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) /\ ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) ) -> ( M + L ) e. NN0 )
64		simpr2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) /\ ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
65		nn0re 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
66	65, 35	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
67		nn0re 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. RR )
68	66, 67	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) -> ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) )
69		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> M e. RR )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> L e. RR )
71		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> N e. RR )
72	69, 70, 71	leaddsub2d 8720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> ( ( M + L ) <_ N <-> L <_ ( N - M ) ) )
73		readdcl 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M + L ) e. RR )
74	73	ad4ant24 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> ( M + L ) e. RR )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) -> (♯ ` W ) e. RR )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> (♯ ` W ) e. RR )
77		letr 8255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( ( ( M + L ) e. RR /\ N e. RR /\ (♯ ` W ) e. RR ) -> ( ( ( M + L ) <_ N /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) )
78	77	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ( M + L ) e. RR /\ N e. RR /\ (♯ ` W ) e. RR ) -> ( ( M + L ) <_ N -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) )
79	74, 71, 76, 78	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> ( ( M + L ) <_ N -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) )
80	79	a1ddd 1478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> ( ( M + L ) <_ N -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( 0 <_ L -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
81	72, 80	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( 0 <_ L -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
82	81	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ( ( N e. RR /\ M e. RR ) /\ (♯ ` W ) e. RR ) /\ L e. RR ) -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( 0 <_ L -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
83	68, 12, 82	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) /\ L e. ZZ ) -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( 0 <_ L -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
84	83	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( 0 <_ L -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
85	84	com25 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) -> ( 0 <_ L -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( L e. ZZ -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
86	85	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( (♯ ` W ) e. NN0 -> ( 0 <_ L -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( L e. ZZ -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) ) )
87	86	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( 0 <_ L -> ( (♯ ` W ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( L e. ZZ -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) ) )
88	87	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( 0 <_ L -> ( (♯ ` W ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( L e. ZZ -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) ) ) )
89	88	com25 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N e. NN0 -> ( (♯ ` W ) e. NN0 -> ( N <_ (♯ ` W ) -> ( 0 <_ L -> ( M e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( L e. ZZ -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) ) ) )
90	89	3imp 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( 0 <_ L -> ( M e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( L e. ZZ -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
91	90	com15 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( L e. ZZ -> ( 0 <_ L -> ( M e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
92	91	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ L -> ( M e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
93	15, 92	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ K /\ K <_ L ) -> ( M e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
94	93	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ K -> ( K <_ L -> ( M e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) ) )
95	94	com35 90	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ K -> ( L <_ ( N - M ) -> ( M e. NN0 -> ( K <_ L -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) ) )
96	95	com25 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K <_ L -> ( L <_ ( N - M ) -> ( M e. NN0 -> ( 0 <_ K -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) ) )
97	96	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( M e. NN0 -> ( 0 <_ K -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
98	97	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ K -> ( M e. NN0 -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
99	98	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) -> ( L e. ZZ -> ( M e. NN0 -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
100	8, 99	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K e. NN0 -> ( L e. ZZ -> ( M e. NN0 -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
101	100	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( M e. NN0 -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
102	101	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) )
103	102	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) )
104	103	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) /\ ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) ) -> ( M + L ) <_ (♯ ` W ) )
105	63, 64, 104	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) /\ ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) )
106	105	exp41 370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
107	106	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
108	107	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
109	4, 108	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
110	109	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
111	59, 110	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
112	111	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
113	112	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
114	113	com13 80	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
115	114	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
116	115	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ K <_ ( N - M ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
117	3, 116	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
118	117	com3l 81	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
119	118	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) ) )
120	119	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
121	2, 120	sylbi 121	. . . . 5 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) ) )
122	121	impcom 125	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) ) )
123	122	impcom 125	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) )
124		elfz2nn0 10340	. . 3 |- ( ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) <-> ( ( M + L ) e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 /\ ( M + L ) <_ (♯ ` W ) ) )
125	123, 124	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
126	1, 58, 125	3jca 1201	1 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8024   0cc0 8025   + caddc 8028   <_ cle 8208   - cmin 8343   NN0cn0 9395   ZZcz 9472   ...cfz 10236  ♯chash 11030  Word cword 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237

This theorem is referenced by:  swrdswrd  11279