Theorem swrdswrd 11203

Description: A subword of a subword is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdswrd	|- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ) )

Proof of Theorem swrdswrd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1002	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> W e. Word V )
2		elfzelz 10189	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
3	2	3ad2ant3 1025	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. ZZ )
4		elfzel2 10187	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
5	4	3ad2ant3 1025	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
6		swrdclg 11148	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1252	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
9		elfz0ubfz0 10289	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> K e. ( 0 ... L ) )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> K e. ( 0 ... L ) )
11		elfzuz 10185	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ K e. ( 0 ... ( N - M ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		fzss1 10227	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K ... ( N - M ) ) C_ ( 0 ... ( N - M ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ K e. ( 0 ... ( N - M ) ) ) -> ( K ... ( N - M ) ) C_ ( 0 ... ( N - M ) ) )
15	14	sseld 3203	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ K e. ( 0 ... ( N - M ) ) ) -> ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> L e. ( 0 ... ( N - M ) ) ) )
16	15	impr 379	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... ( N - M ) ) )
17		3ancomb 991	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) <-> ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
18	17	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
20		swrdlen 11150	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
22	21	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( 0 ... (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) = ( 0 ... ( N - M ) ) )
23	16, 22	eleqtrrd 2289	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) )
24		swrdval2 11149	. . . 4 |- ( ( ( W substr <. M , N >. ) e. Word V /\ K e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) )
25	8, 10, 23, 24	syl3anc 1252	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) )
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> W e. Word V )
27	3	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> M e. ZZ )
28	5	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> N e. ZZ )
29	26, 27, 28, 6	syl3anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
30		elfzoelz 10311	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> x e. ZZ )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> x e. ZZ )
32		elfzelz 10189	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
33	32	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> K e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> K e. ZZ )
35	31, 34	zaddcld 9541	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( x + K ) e. ZZ )
36		fvexg 5622	. . . . . . 7 |- ( ( ( W substr <. M , N >. ) e. Word V /\ ( x + K ) e. ZZ ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) e. _V )
37	29, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) e. _V )
38	37	ralrimiva 2583	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> A. x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) e. _V )
39		eqid 2209	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) )
40	39	fnmpt 5426	. . . . 5 |- ( A. x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) e. _V -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) Fn ( 0..^ ( L - K ) ) )
41	38, 40	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) Fn ( 0..^ ( L - K ) ) )
42		swrdswrdlem 11202	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
43		swrdvalfn 11154	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
45		elfzelz 10189	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> L e. ZZ )
46		zcn 9419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> M e. CC )
48		zcn 9419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> L e. CC )
49	48	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> L e. CC )
50		zcn 9419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
51	50	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> K e. CC )
52		pnpcan 8353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( M + L ) - ( M + K ) ) = ( L - K ) )
53	52	eqcomd 2215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC /\ K e. CC ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
54	47, 49, 51, 53	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
55	54	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
56	45, 32, 55	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
57	2, 56	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
58	57	3ad2ant3 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
59	58	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
60	59	oveq2d 5990	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( 0..^ ( L - K ) ) = ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
61	60	fneq2d 5388	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( L - K ) ) <-> ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
62	44, 61	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( L - K ) ) )
63		eqid 2209	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) )
64		oveq1 5981	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x + K ) = ( y + K ) )
65	64	fvoveq1d 5996	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) = ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> y e. ( 0..^ ( L - K ) ) )
67	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> W e. Word V )
68		elfzoelz 10311	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> y e. ZZ )
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> y e. ZZ )
70	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> K e. ZZ )
71	69, 70	zaddcld 9541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( y + K ) e. ZZ )
72	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> M e. ZZ )
73	71, 72	zaddcld 9541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( y + K ) + M ) e. ZZ )
74		fvexg 5622	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ ( ( y + K ) + M ) e. ZZ ) -> ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) e. _V )
75	67, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) e. _V )
76	63, 65, 66, 75	fvmptd3 5701	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) ` y ) = ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) )
77		zcn 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
78	77, 46, 50	3anim123i 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( y e. CC /\ M e. CC /\ K e. CC ) )
79	78	3expa 1208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( y e. CC /\ M e. CC /\ K e. CC ) )
80		add32r 8274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. CC /\ M e. CC /\ K e. CC ) -> ( y + ( M + K ) ) = ( ( y + K ) + M ) )
81	80	eqcomd 2215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. CC /\ M e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) )
82	79, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) )
83	82	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
84	83	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
85	32, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( M e. ZZ -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( M e. ZZ -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
87	2, 86	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
88	87	3ad2ant3 1025	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
89	88	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) )
90	89, 68	impel 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) )
91	90	fveq2d 5607	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) = ( W ` ( y + ( M + K ) ) ) )
92	76, 91	eqtrd 2242	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) ` y ) = ( W ` ( y + ( M + K ) ) ) )
93	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
94		elfz2nn0 10276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ K <_ ( N - M ) ) )
95		elfz2 10179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) <-> ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) )
96		elfzo0 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( L - K ) e. NN /\ x < ( L - K ) ) )
97		nn0re 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x e. NN0 -> x e. RR )
98	97	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> x e. RR )
99		nn0re 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> K e. RR )
101		zre 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
102	101	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> L e. RR )
103		ltaddsub 8551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( x + K ) < L <-> x < ( L - K ) ) )
104	103	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ L e. RR ) -> ( x < ( L - K ) <-> ( x + K ) < L ) )
105	98, 100, 102, 104	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( x < ( L - K ) <-> ( x + K ) < L ) )
106		nn0addcl 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( x + K ) e. NN0 )
107	106	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( x e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( x + K ) e. NN0 ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( K e. NN0 -> ( x + K ) e. NN0 ) )
109	108	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( x + K ) e. NN0 )
110	109	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( x + K ) < L ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) e. NN0 )
111		elnn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( x + K ) e. NN0 <-> ( ( x + K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x + K ) ) )
112		0red 8115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> 0 e. RR )
113		zre 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( x + K ) e. ZZ -> ( x + K ) e. RR )
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( x + K ) e. RR )
115	101	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
116		lelttr 8203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( 0 e. RR /\ ( x + K ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( x + K ) /\ ( x + K ) < L ) -> 0 < L ) )
117	112, 114, 115, 116	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ ( x + K ) /\ ( x + K ) < L ) -> 0 < L ) )
118		0red 8115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> 0 e. RR )
119	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> L e. RR )
120		nn0re 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( N - M ) e. NN0 -> ( N - M ) e. RR )
121	120	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( N - M ) e. RR )
122		ltletr 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( 0 e. RR /\ L e. RR /\ ( N - M ) e. RR ) -> ( ( 0 < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> 0 < ( N - M ) ) )
123	118, 119, 121, 122	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( 0 < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> 0 < ( N - M ) ) )
124		elnnnn0b 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( N - M ) e. NN <-> ( ( N - M ) e. NN0 /\ 0 < ( N - M ) ) )
125	124	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( N - M ) e. NN0 -> ( 0 < ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) )
126	125	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( 0 < ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) )
127	123, 126	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( 0 < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( N - M ) e. NN ) )
128	127	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( L e. ZZ -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( 0 < L -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
129	128	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( L e. ZZ -> ( 0 < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
130	129	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
131	117, 130	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ ( x + K ) /\ ( x + K ) < L ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
132	131	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( x + K ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) )
133	132	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( x + K ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) )
134	133	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( x + K ) e. ZZ -> ( L e. ZZ -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( x + K ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) ) )
135	134	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( x + K ) e. ZZ -> ( 0 <_ ( x + K ) -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) ) )
136	135	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x + K ) ) -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) )
137	111, 136	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( x + K ) e. NN0 -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) )
138	106, 137	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) )
139	138	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( K e. NN0 -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) )
140	139	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
141	140	imp41 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( x + K ) < L ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( N - M ) e. NN )
142		nn0readdcl 9396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( x + K ) e. RR )
143	142	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( x e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( x + K ) e. RR ) )
144	143	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( K e. NN0 -> ( x + K ) e. RR ) )
145	144	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( x + K ) e. RR )
146		ltletr 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( x + K ) e. RR /\ L e. RR /\ ( N - M ) e. RR ) -> ( ( ( x + K ) < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) < ( N - M ) ) )
147	145, 102, 120, 146	syl2an3an 1313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( ( x + K ) < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) < ( N - M ) ) )
148	147	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( ( x + K ) < L -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) < ( N - M ) ) ) ) )
149	148	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) < ( N - M ) ) ) ) )
150	149	imp41 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( x + K ) < L ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) < ( N - M ) )
151		elfzo0 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) <-> ( ( x + K ) e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ ( x + K ) < ( N - M ) ) )
152	110, 141, 150, 151	syl3anbrc 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( x + K ) < L ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
153	152	exp41 370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
154	105, 153	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( x < ( L - K ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
155	154	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( K e. NN0 -> ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( x < ( L - K ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) ) )
156	155	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K e. NN0 -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( x < ( L - K ) -> ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) ) )
157	156	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x < ( L - K ) -> ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
158	157	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( x < ( L - K ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
159	158	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. NN0 /\ x < ( L - K ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
160	159	3adant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L - K ) e. NN /\ x < ( L - K ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
161	96, 160	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
162	161	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L <_ ( N - M ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
164	163	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
165	164	3ad2ant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
166	165	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
167	95, 166	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
168	167	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
169	168	3adant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ K <_ ( N - M ) ) -> ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
170	94, 169	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
171	170	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) )
172	171	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) )
173	172	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) )
174	173	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
175		swrdfv 11151	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) = ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) )
176	93, 174, 175	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) = ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) )
177	176	mpteq2dva 4153	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) )
178	177	fveq1d 5605	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) ` y ) = ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) ` y ) )
179	42	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
180	46, 48, 50	3anim123i 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. CC /\ L e. CC /\ K e. CC ) )
181	180	3expa 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( M e. CC /\ L e. CC /\ K e. CC ) )
182	181, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
183	182	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( L e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
184	183	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
185	45, 184	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( K e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
186	32, 185	mpan9 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
187	2, 186	syl5com 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
188	187	3ad2ant3 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
189	188	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
190	189	oveq2d 5990	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( 0..^ ( L - K ) ) = ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
191	190	eleq2d 2279	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( y e. ( 0..^ ( L - K ) ) <-> y e. ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
192	191	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> y e. ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
193		swrdfv 11151	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) -> ( ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ` y ) = ( W ` ( y + ( M + K ) ) ) )
194	179, 192, 193	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ` y ) = ( W ` ( y + ( M + K ) ) ) )
195	92, 178, 194	3eqtr4d 2252	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) ` y ) = ( ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ` y ) )
196	41, 62, 195	eqfnfvd 5708	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) = ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) )
197	25, 196	eqtrd 2242	. 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) )
198	197	ex 115	1 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 983   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   _Vcvv 2779   C_ wss 3177   <.cop 3649   class class class wbr 4062   |-> cmpt 4124   Fn wfn 5289   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   CCcc 7965   RRcr 7966   0cc0 7967   + caddc 7970   < clt 8149   <_ cle 8150   - cmin 8285   NNcn 9078   NN0cn0 9337   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690   ...cfz 10172  ..^cfzo 10306  ♯chash 10964  Word cword 11038   substr csubstr 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-1o 6532  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-ihash 10965  df-word 11039  df-substr 11144

This theorem is referenced by:  pfxswrd  11204  swrdpfx  11205