Theorem swrdswrd 11287

Description: A subword of a subword is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdswrd	|- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ) )

Proof of Theorem swrdswrd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> W e. Word V )
2		elfzelz 10260	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
3	2	3ad2ant3 1046	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. ZZ )
4		elfzel2 10258	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
5	4	3ad2ant3 1046	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
6		swrdclg 11232	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
9		elfz0ubfz0 10360	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> K e. ( 0 ... L ) )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> K e. ( 0 ... L ) )
11		elfzuz 10256	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ K e. ( 0 ... ( N - M ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		fzss1 10298	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K ... ( N - M ) ) C_ ( 0 ... ( N - M ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ K e. ( 0 ... ( N - M ) ) ) -> ( K ... ( N - M ) ) C_ ( 0 ... ( N - M ) ) )
15	14	sseld 3226	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ K e. ( 0 ... ( N - M ) ) ) -> ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> L e. ( 0 ... ( N - M ) ) ) )
16	15	impr 379	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... ( N - M ) ) )
17		3ancomb 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) <-> ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
18	17	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
20		swrdlen 11234	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
22	21	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( 0 ... (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) = ( 0 ... ( N - M ) ) )
23	16, 22	eleqtrrd 2311	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) )
24		swrdval2 11233	. . . 4 |- ( ( ( W substr <. M , N >. ) e. Word V /\ K e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) )
25	8, 10, 23, 24	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) )
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> W e. Word V )
27	3	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> M e. ZZ )
28	5	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> N e. ZZ )
29	26, 27, 28, 6	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
30		elfzoelz 10382	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> x e. ZZ )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> x e. ZZ )
32		elfzelz 10260	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
33	32	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> K e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> K e. ZZ )
35	31, 34	zaddcld 9606	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( x + K ) e. ZZ )
36		fvexg 5658	. . . . . . 7 |- ( ( ( W substr <. M , N >. ) e. Word V /\ ( x + K ) e. ZZ ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) e. _V )
37	29, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) e. _V )
38	37	ralrimiva 2605	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> A. x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) e. _V )
39		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) )
40	39	fnmpt 5459	. . . . 5 |- ( A. x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) e. _V -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) Fn ( 0..^ ( L - K ) ) )
41	38, 40	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) Fn ( 0..^ ( L - K ) ) )
42		swrdswrdlem 11286	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
43		swrdvalfn 11238	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
45		elfzelz 10260	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> L e. ZZ )
46		zcn 9484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> M e. CC )
48		zcn 9484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> L e. CC )
49	48	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> L e. CC )
50		zcn 9484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
51	50	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> K e. CC )
52		pnpcan 8418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( M + L ) - ( M + K ) ) = ( L - K ) )
53	52	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC /\ K e. CC ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
54	47, 49, 51, 53	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
55	54	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
56	45, 32, 55	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
57	2, 56	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
58	57	3ad2ant3 1046	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
59	58	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
60	59	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( 0..^ ( L - K ) ) = ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
61	60	fneq2d 5421	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( L - K ) ) <-> ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
62	44, 61	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) Fn ( 0..^ ( L - K ) ) )
63		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) )
64		oveq1 6025	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x + K ) = ( y + K ) )
65	64	fvoveq1d 6040	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) = ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> y e. ( 0..^ ( L - K ) ) )
67	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> W e. Word V )
68		elfzoelz 10382	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> y e. ZZ )
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> y e. ZZ )
70	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> K e. ZZ )
71	69, 70	zaddcld 9606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( y + K ) e. ZZ )
72	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> M e. ZZ )
73	71, 72	zaddcld 9606	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( y + K ) + M ) e. ZZ )
74		fvexg 5658	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ ( ( y + K ) + M ) e. ZZ ) -> ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) e. _V )
75	67, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) e. _V )
76	63, 65, 66, 75	fvmptd3 5740	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) ` y ) = ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) )
77		zcn 9484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
78	77, 46, 50	3anim123i 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( y e. CC /\ M e. CC /\ K e. CC ) )
79	78	3expa 1229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( y e. CC /\ M e. CC /\ K e. CC ) )
80		add32r 8339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. CC /\ M e. CC /\ K e. CC ) -> ( y + ( M + K ) ) = ( ( y + K ) + M ) )
81	80	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. CC /\ M e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) )
82	79, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) )
83	82	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
84	83	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
85	32, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( M e. ZZ -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( M e. ZZ -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
87	2, 86	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
88	87	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) ) )
89	88	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) ) )
90	89, 68	impel 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( y + K ) + M ) = ( y + ( M + K ) ) )
91	90	fveq2d 5643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W ` ( ( y + K ) + M ) ) = ( W ` ( y + ( M + K ) ) ) )
92	76, 91	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) ` y ) = ( W ` ( y + ( M + K ) ) ) )
93	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
94		elfz2nn0 10347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ K <_ ( N - M ) ) )
95		elfz2 10250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) <-> ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) )
96		elfzo0 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( L - K ) e. NN /\ x < ( L - K ) ) )
97		nn0re 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x e. NN0 -> x e. RR )
98	97	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> x e. RR )
99		nn0re 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> K e. RR )
101		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
102	101	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> L e. RR )
103		ltaddsub 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( x + K ) < L <-> x < ( L - K ) ) )
104	103	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. RR /\ K e. RR /\ L e. RR ) -> ( x < ( L - K ) <-> ( x + K ) < L ) )
105	98, 100, 102, 104	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( x < ( L - K ) <-> ( x + K ) < L ) )
106		nn0addcl 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( x + K ) e. NN0 )
107	106	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( x e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( x + K ) e. NN0 ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( K e. NN0 -> ( x + K ) e. NN0 ) )
109	108	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( x + K ) e. NN0 )
110	109	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( x + K ) < L ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) e. NN0 )
111		elnn0z 9492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( x + K ) e. NN0 <-> ( ( x + K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x + K ) ) )
112		0red 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> 0 e. RR )
113		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( x + K ) e. ZZ -> ( x + K ) e. RR )
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( x + K ) e. RR )
115	101	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. RR )
116		lelttr 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( 0 e. RR /\ ( x + K ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( x + K ) /\ ( x + K ) < L ) -> 0 < L ) )
117	112, 114, 115, 116	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ ( x + K ) /\ ( x + K ) < L ) -> 0 < L ) )
118		0red 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> 0 e. RR )
119	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> L e. RR )
120		nn0re 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( N - M ) e. NN0 -> ( N - M ) e. RR )
121	120	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( N - M ) e. RR )
122		ltletr 8269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( 0 e. RR /\ L e. RR /\ ( N - M ) e. RR ) -> ( ( 0 < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> 0 < ( N - M ) ) )
123	118, 119, 121, 122	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( 0 < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> 0 < ( N - M ) ) )
124		elnnnn0b 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( N - M ) e. NN <-> ( ( N - M ) e. NN0 /\ 0 < ( N - M ) ) )
125	124	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( N - M ) e. NN0 -> ( 0 < ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) )
126	125	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( 0 < ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) )
127	123, 126	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( L e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( 0 < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( N - M ) e. NN ) )
128	127	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( L e. ZZ -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( 0 < L -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
129	128	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( L e. ZZ -> ( 0 < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
130	129	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
131	117, 130	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ ( x + K ) /\ ( x + K ) < L ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
132	131	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( x + K ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) )
133	132	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( x + K ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) )
134	133	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( x + K ) e. ZZ -> ( L e. ZZ -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( x + K ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) ) )
135	134	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( x + K ) e. ZZ -> ( 0 <_ ( x + K ) -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) ) )
136	135	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( x + K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x + K ) ) -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) )
137	111, 136	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( x + K ) e. NN0 -> ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) ) )
138	106, 137	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( L e. ZZ -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) )
139	138	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( K e. NN0 -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) ) )
140	139	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( N - M ) e. NN ) ) ) )
141	140	imp41 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( x + K ) < L ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( N - M ) e. NN )
142		nn0readdcl 9461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( x e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( x + K ) e. RR )
143	142	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( x e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( x + K ) e. RR ) )
144	143	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( K e. NN0 -> ( x + K ) e. RR ) )
145	144	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( x + K ) e. RR )
146		ltletr 8269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( x + K ) e. RR /\ L e. RR /\ ( N - M ) e. RR ) -> ( ( ( x + K ) < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) < ( N - M ) ) )
147	145, 102, 120, 146	syl2an3an 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( ( x + K ) < L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) < ( N - M ) ) )
148	147	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( ( x + K ) < L -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) < ( N - M ) ) ) ) )
149	148	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) < ( N - M ) ) ) ) )
150	149	imp41 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( x + K ) < L ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) < ( N - M ) )
151		elfzo0 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) <-> ( ( x + K ) e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ ( x + K ) < ( N - M ) ) )
152	110, 141, 150, 151	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) /\ ( x + K ) < L ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
153	152	exp41 370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x + K ) < L -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
154	105, 153	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( K e. NN0 /\ ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) ) -> ( x < ( L - K ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
155	154	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( K e. NN0 -> ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( x < ( L - K ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) ) )
156	155	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K e. NN0 -> ( ( N - M ) e. NN0 -> ( x < ( L - K ) -> ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) ) )
157	156	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x < ( L - K ) -> ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
158	157	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. NN0 /\ L e. ZZ ) -> ( x < ( L - K ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
159	158	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. NN0 /\ x < ( L - K ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
160	159	3adant2 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L - K ) e. NN /\ x < ( L - K ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
161	96, 160	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L <_ ( N - M ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
162	161	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L <_ ( N - M ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( L e. ZZ -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
164	163	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L e. ZZ -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
165	164	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) ) )
166	165	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( K <_ L /\ L <_ ( N - M ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
167	95, 166	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
168	167	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
169	168	3adant3 1043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ K <_ ( N - M ) ) -> ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
170	94, 169	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) -> ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) )
171	170	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) )
172	171	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) )
173	172	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) )
174	173	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
175		swrdfv 11235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ ( x + K ) e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) = ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) )
176	93, 174, 175	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) = ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) )
177	176	mpteq2dva 4179	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) )
178	177	fveq1d 5641	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) ` y ) = ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( W ` ( ( x + K ) + M ) ) ) ` y ) )
179	42	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) )
180	46, 48, 50	3anim123i 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M e. CC /\ L e. CC /\ K e. CC ) )
181	180	3expa 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( M e. CC /\ L e. CC /\ K e. CC ) )
182	181, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
183	182	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( L e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
184	183	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
185	45, 184	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ( K ... ( N - M ) ) -> ( K e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
186	32, 185	mpan9 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( M e. ZZ -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
187	2, 186	syl5com 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
188	187	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
189	188	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( L - K ) = ( ( M + L ) - ( M + K ) ) )
190	189	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( 0..^ ( L - K ) ) = ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
191	190	eleq2d 2301	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( y e. ( 0..^ ( L - K ) ) <-> y e. ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) )
192	191	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> y e. ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) )
193		swrdfv 11235	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( M + K ) e. ( 0 ... ( M + L ) ) /\ ( M + L ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( ( M + L ) - ( M + K ) ) ) ) -> ( ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ` y ) = ( W ` ( y + ( M + K ) ) ) )
194	179, 192, 193	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ` y ) = ( W ` ( y + ( M + K ) ) ) )
195	92, 178, 194	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) /\ y e. ( 0..^ ( L - K ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) ` y ) = ( ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ` y ) )
196	41, 62, 195	eqfnfvd 5747	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - K ) ) |-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( x + K ) ) ) = ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) )
197	25, 196	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) )
198	197	ex 115	1 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K e. ( 0 ... ( N - M ) ) /\ L e. ( K ... ( N - M ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) substr <. K , L >. ) = ( W substr <. ( M + K ) , ( M + L ) >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   <.cop 3672   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   + caddc 8035   < clt 8214   <_ cle 8215   - cmin 8350   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11114   substr csubstr 11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11115  df-substr 11228

This theorem is referenced by:  pfxswrd  11288  swrdpfx  11289