Theorem vdegp1cid 16774

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of U in the edge set E is P, then adding { X , U } to the edge set, where X =/= U, yields degree P + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	|- V = (Vtx ` G )
vdegp1aid.u	|- ( ph -> U e. V )
vdegp1ai.i	|- I = (iEdg ` G )
vdegp1aid.w	|- ( ph -> I e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
vdegp1aid.d	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = P )
vdegp1aid.vf	|- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
vdegp1aid.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
vdegp1bid.x	|- ( ph -> X e. V )
vdegp1bid.xu	|- ( ph -> X =/= U )
vdegp1cid.f	|- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I ++ <" { X , U } "> ) )

Assertion

Ref	Expression
vdegp1cid	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( P + 1 ) )

Distinct variable groups:   x, U   x, V   x, X   x, G

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x)   F( x)   I( x)

Proof of Theorem vdegp1cid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. 2 |- V = (Vtx ` G )
2		vdegp1aid.u	. 2 |- ( ph -> U e. V )
3		vdegp1ai.i	. 2 |- I = (iEdg ` G )
4		vdegp1aid.w	. 2 |- ( ph -> I e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
5		vdegp1aid.d	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = P )
6		vdegp1aid.vf	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
7		vdegp1aid.fi	. 2 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vdegp1bid.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
9		vdegp1bid.xu	. 2 |- ( ph -> X =/= U )
10		vdegp1cid.f	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I ++ <" { X , U } "> ) )
11		prcom 3787	. . . . 5 |- { X , U } = { U , X }
12		s1eq 11410	. . . . 5 |- ( { X , U } = { U , X } -> <" { X , U } "> = <" { U , X } "> )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- <" { X , U } "> = <" { U , X } ">
14	13	oveq2i 6099	. . 3 |- ( I ++ <" { X , U } "> ) = ( I ++ <" { U , X } "> )
15	10, 14	eqtrdi 2287	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I ++ <" { U , X } "> ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15	vdegp1bid 16773	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( P + 1 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1oc1o 6684   2oc2o 6685   ~~ cen 7025   Fincfn 7027   1c1 8187   + caddc 8189  Word cword 11327   ++ cconcat 11381   <"cs1 11406  Vtxcvtx 16470  iEdgciedg 16471  VtxDegcvtxdg 16744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-xadd 10193  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328  df-concat 11382  df-s1 11407  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-upgren 16551  df-umgren 16552  df-vtxdg 16745

This theorem is used by:  konigsberglem2  16947  konigsberglem3  16948