Theorem vdegp1cid 16569

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of U in the edge set E is P, then adding { X , U } to the edge set, where X =/= U, yields degree P + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	|- V = (Vtx ` G )
vdegp1aid.u	|- ( ph -> U e. V )
vdegp1ai.i	|- I = (iEdg ` G )
vdegp1aid.w	|- ( ph -> I e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
vdegp1aid.d	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = P )
vdegp1aid.vf	|- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
vdegp1aid.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
vdegp1bid.x	|- ( ph -> X e. V )
vdegp1bid.xu	|- ( ph -> X =/= U )
vdegp1cid.f	|- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I ++ <" { X , U } "> ) )

Assertion

Ref	Expression
vdegp1cid	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( P + 1 ) )

Distinct variable groups:   x, U   x, V   x, X   x, G

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x)   F( x)   I( x)

Proof of Theorem vdegp1cid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. 2 |- V = (Vtx ` G )
2		vdegp1aid.u	. 2 |- ( ph -> U e. V )
3		vdegp1ai.i	. 2 |- I = (iEdg ` G )
4		vdegp1aid.w	. 2 |- ( ph -> I e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
5		vdegp1aid.d	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = P )
6		vdegp1aid.vf	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
7		vdegp1aid.fi	. 2 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vdegp1bid.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
9		vdegp1bid.xu	. 2 |- ( ph -> X =/= U )
10		vdegp1cid.f	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I ++ <" { X , U } "> ) )
11		prcom 3787	. . . . 5 |- { X , U } = { U , X }
12		s1eq 11389	. . . . 5 |- ( { X , U } = { U , X } -> <" { X , U } "> = <" { U , X } "> )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- <" { X , U } "> = <" { U , X } ">
14	13	oveq2i 6096	. . 3 |- ( I ++ <" { X , U } "> ) = ( I ++ <" { U , X } "> )
15	10, 14	eqtrdi 2287	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I ++ <" { U , X } "> ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15	vdegp1bid 16568	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( P + 1 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1oc1o 6680   2oc2o 6681   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   1c1 8180   + caddc 8182  Word cword 11306   ++ cconcat 11360   <"cs1 11385  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  VtxDegcvtxdg 16539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-xadd 10177  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-ihash 11217  df-word 11307  df-concat 11361  df-s1 11386  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-upgren 16346  df-umgren 16347  df-vtxdg 16540

This theorem is used by:  konigsberglem2  16742  konigsberglem3  16743