Theorem vdegp1cid 16540

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑈} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1aid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1aid.w	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
vdegp1aid.d	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
vdegp1aid.vf	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
vdegp1aid.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vdegp1bid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
vdegp1bid.xu	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
vdegp1cid.f	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩))

Assertion

Ref	Expression
vdegp1cid	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1cid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vdegp1aid.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		vdegp1ai.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1aid.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
5		vdegp1aid.d	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
6		vdegp1aid.vf	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
7		vdegp1aid.fi	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
8		vdegp1bid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		vdegp1bid.xu	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
10		vdegp1cid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩))
11		prcom 3786	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋}
12		s1eq 11370	. . . . 5 ⊢ ({𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋} → ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩
14	13	oveq2i 6090	. . 3 ⊢ (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
15	10, 14	eqtrdi 2287	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15	vdegp1bid 16539	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532  𝒫 cpw 3688  {cpr 3709   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  1_oc1o 6674  2_oc2o 6675   ≈ cen 7014  Fincfn 7016  1c1 8174   + caddc 8176  Word cword 11287   ++ cconcat 11341  ⟨“cs1 11366  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  VtxDegcvtxdg 16510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-xadd 10158  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-concat 11342  df-s1 11367  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-upgren 16317  df-umgren 16318  df-vtxdg 16511

This theorem is referenced by:  konigsberglem2  16713  konigsberglem3  16714