Theorem wrdexb 11091

Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexb	⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexb

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdexg 11090	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
2		c0ex 8148	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
3		vex 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑠 ∈ V
4	2, 3	opex 4315	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ V
5	4	snid 3697	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩}
6		snopiswrd 11089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆)
7		elunii 3893	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩} ∧ {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
9	2, 3	opeluu 4541	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
11	10	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆)
12	11	ssriv 3228	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆
13		uniexg 4530	. . . 4 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ Word 𝑆 ∈ V)
14		uniexg 4530	. . . 4 ⊢ (∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
15		uniexg 4530	. . . 4 ⊢ (∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
16	13, 14, 15	3syl 17	. . 3 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
17		ssexg 4223	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
18	12, 16, 17	sylancr 414	. 2 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
19	1, 18	impbii 126	1 ⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {csn 3666  ⟨cop 3669  ∪ cuni 3888  0cc0 8007  Word cword 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-word 11080

This theorem is referenced by: (None)