ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znval2 Unicode version
Theorem znval2 14912
Description: Self-referential expression for the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znval2.s |- S = (RSpan ` ℤring )
znval2.u |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval2.y |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znval2.l |- .<_ = ( le ` Y )
Assertion
Ref Expression
znval2 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , .<_ >. ) )
Proof of Theorem znval2
StepHypRef Expression
1 znval2.s . . 3 |- S = (RSpan ` ℤring )
2 znval2.u . . 3 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
3 znval2.y . . 3 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4 eqid 2234 . . 3 |- ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
5 eqid 2234 . . 3 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
6 eqid 2234 . . 3 |- ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6znval 14910 . 2 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) )
8 znval2.l . . . . 5 |- .<_ = ( le ` Y )
91, 2, 3, 4, 5, 8znle 14911 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) )
109opeq2d 3895 . . 3 |- ( N e. NN0 -> <. ( le ` ndx ) , .<_ >. = <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. )
1110oveq2d 6074 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( U sSet <. ( le ` ndx ) , .<_ >. ) = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) )
127, 11eqtr4d 2270 1 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , .<_ >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ifcif 3624   {csn 3694   <.cop 3697   `'ccnv 4753   |` cres 4756   o. ccom 4758   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   <_ cle 8325   NN0cn0 9513   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498   ndxcnx 13293   sSet csts 13294   lecple 13381   /.s cqus 13566   ~QG cqg 13922  RSpancrsp 14742  ℤringczring 14864   ZRHomczrh 14885  ℤ/nℤczn 14887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-addf 8265  ax-mulf 8266
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-ec 6782  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-rp 10005  df-fz 10362  df-cj 11552  df-abs 11709  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-starv 13389  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-unif 13397  df-0g 13555  df-topgen 13557  df-iimas 13567  df-qus 13568  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-subg 13923  df-eqg 13925  df-cmn 14039  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-ring 14241  df-cring 14242  df-rhm 14397  df-subrg 14465  df-lsp 14661  df-sra 14709  df-rgmod 14710  df-rsp 14744  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-fg 14823  df-metu 14824  df-cnfld 14831  df-zring 14865  df-zrh 14888  df-zn 14890
This theorem is referenced by:  znbaslemnn  14913
  Copyright terms: Public domain W3C validator