Theorem znval2 14758

Description: Self-referential expression for the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znval2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩))

Proof of Theorem znval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2232	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
5		eqid 2232	. . 3 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		eqid 2232	. . 3 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 14756	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
8		znval2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	znle 14757	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))))
10	9	opeq2d 3883	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ = ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩)
11	10	oveq2d 6057	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩) = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
12	7, 11	eqtr4d 2268	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ifcif 3616  {csn 3682  ⟨cop 3685  ^◡ccnv 4739   ↾ cres 4742   ∘ ccom 4744  ‘cfv 5343  (class class class)co 6041  0cc0 8115   ≤ cle 8297  ℕ₀cn0 9484  ℤcz 9563  ..^cfzo 10462  ndxcnx 13183   sSet csts 13184  lecple 13271   /_s cqus 13487   ~_QG cqg 13860  RSpancrsp 14588  ℤ_ringczring 14710  ℤRHomczrh 14731  ℤ/nℤczn 14733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232  ax-addf 8237  ax-mulf 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-tp 3690  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-ec 6760  df-map 6875  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-4 9286  df-5 9287  df-6 9288  df-7 9289  df-8 9290  df-9 9291  df-n0 9485  df-z 9564  df-dec 9696  df-uz 9840  df-rp 9973  df-fz 10329  df-cj 11505  df-abs 11662  df-struct 13188  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-base 13192  df-sets 13193  df-iress 13194  df-plusg 13277  df-mulr 13278  df-starv 13279  df-sca 13280  df-vsca 13281  df-ip 13282  df-tset 13283  df-ple 13284  df-ds 13286  df-unif 13287  df-0g 13445  df-topgen 13447  df-iimas 13489  df-qus 13490  df-mgm 13543  df-sgrp 13589  df-mnd 13604  df-grp 13690  df-minusg 13691  df-subg 13861  df-eqg 13863  df-cmn 13977  df-mgp 14039  df-ur 14078  df-ring 14116  df-cring 14117  df-rhm 14271  df-subrg 14338  df-lsp 14507  df-sra 14555  df-rgmod 14556  df-rsp 14590  df-bl 14666  df-mopn 14667  df-fg 14669  df-metu 14670  df-cnfld 14677  df-zring 14711  df-zrh 14734  df-zn 14736

This theorem is referenced by:  znbaslemnn  14759