Theorem znval2 14674

Description: Self-referential expression for the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znval2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩))

Proof of Theorem znval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2231	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
5		eqid 2231	. . 3 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		eqid 2231	. . 3 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 14672	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
8		znval2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	znle 14673	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))))
10	9	opeq2d 3869	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ = ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩)
11	10	oveq2d 6037	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩) = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
12	7, 11	eqtr4d 2267	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ifcif 3605  {csn 3669  ⟨cop 3672  ^◡ccnv 4724   ↾ cres 4727   ∘ ccom 4729  ‘cfv 5326  (class class class)co 6021  0cc0 8035   ≤ cle 8218  ℕ₀cn0 9405  ℤcz 9482  ..^cfzo 10380  ndxcnx 13100   sSet csts 13101  lecple 13188   /_s cqus 13404   ~_QG cqg 13777  RSpancrsp 14504  ℤ_ringczring 14626  ℤRHomczrh 14647  ℤ/nℤczn 14649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-addf 8157  ax-mulf 8158

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-ec 6707  df-map 6822  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-z 9483  df-dec 9615  df-uz 9759  df-rp 9892  df-fz 10247  df-cj 11423  df-abs 11580  df-struct 13105  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-sets 13110  df-iress 13111  df-plusg 13194  df-mulr 13195  df-starv 13196  df-sca 13197  df-vsca 13198  df-ip 13199  df-tset 13200  df-ple 13201  df-ds 13203  df-unif 13204  df-0g 13362  df-topgen 13364  df-iimas 13406  df-qus 13407  df-mgm 13460  df-sgrp 13506  df-mnd 13521  df-grp 13607  df-minusg 13608  df-subg 13778  df-eqg 13780  df-cmn 13894  df-mgp 13956  df-ur 13995  df-ring 14033  df-cring 14034  df-rhm 14188  df-subrg 14255  df-lsp 14423  df-sra 14471  df-rgmod 14472  df-rsp 14506  df-bl 14582  df-mopn 14583  df-fg 14585  df-metu 14586  df-cnfld 14593  df-zring 14627  df-zrh 14650  df-zn 14652

This theorem is referenced by:  znbaslemnn  14675