ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulidnq GIF version

Theorem mulidnq 7002
Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulidnq (𝐴Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6961 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 oveq1 5673 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = (𝐴 ·Q 1Q))
3 id 19 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2103 . 2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴))
5 df-1nqqs 6964 . . . . 5 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
65oveq2i 5677 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
7 1pi 6928 . . . . 5 1oN
8 mulpipqqs 6986 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (1oN ∧ 1oN)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩] ~Q )
97, 7, 8mpanr12 431 . . . 4 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩] ~Q )
106, 9syl5eq 2133 . . 3 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩] ~Q )
11 mulcompig 6944 . . . . . . 7 ((1oN𝑥N) → (1o ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1o))
127, 11mpan 416 . . . . . 6 (𝑥N → (1o ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1o))
1312adantr 271 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N) → (1o ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1o))
14 mulcompig 6944 . . . . . . 7 ((1oN𝑦N) → (1o ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1o))
157, 14mpan 416 . . . . . 6 (𝑦N → (1o ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1o))
1615adantl 272 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N) → (1o ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1o))
1713, 16opeq12d 3636 . . . 4 ((𝑥N𝑦N) → ⟨(1o ·N 𝑥), (1o ·N 𝑦)⟩ = ⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩)
1817eceq1d 6342 . . 3 ((𝑥N𝑦N) → [⟨(1o ·N 𝑥), (1o ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩] ~Q )
19 mulcanenqec 6999 . . . 4 ((1oN𝑥N𝑦N) → [⟨(1o ·N 𝑥), (1o ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
207, 19mp3an1 1261 . . 3 ((𝑥N𝑦N) → [⟨(1o ·N 𝑥), (1o ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
2110, 18, 203eqtr2d 2127 . 2 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
221, 4, 21ecoptocl 6393 1 (𝐴Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439  cop 3453  (class class class)co 5666  1oc1o 6188  [cec 6304  Ncnpi 6885   ·N cmi 6887   ~Q ceq 6892  Qcnq 6893  1Qc1q 6894   ·Q cmq 6896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-mi 6919  df-mpq 6958  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-mqqs 6963  df-1nqqs 6964
This theorem is referenced by:  recmulnqg  7004  rec1nq  7008  ltaddnq  7020  halfnqq  7023  prarloclemarch  7031  ltrnqg  7033  addnqprllem  7140  addnqprulem  7141  addnqprl  7142  addnqpru  7143  appdivnq  7176  prmuloc2  7180  mulnqprl  7181  mulnqpru  7182  1idprl  7203  1idpru  7204  recexprlem1ssl  7246  recexprlem1ssu  7247
  Copyright terms: Public domain W3C validator