Theorem mulidnq 7221

Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulidnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7180	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		oveq1 5789	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = (𝐴 ·Q 1Q))
3		id 19	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2155	. 2 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴))
5		df-1nqqs 7183	. . . . 5 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
6	5	oveq2i 5793	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
7		1pi 7147	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
8		mulpipqqs 7205	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (1o ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩] ~Q )
9	7, 7, 8	mpanr12 436	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩] ~Q )
10	6, 9	syl5eq 2185	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩] ~Q )
11		mulcompig 7163	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (1o ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1o))
12	7, 11	mpan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → (1o ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1o))
13	12	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (1o ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1o))
14		mulcompig 7163	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (1o ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1o))
15	7, 14	mpan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → (1o ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1o))
16	15	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (1o ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1o))
17	13, 16	opeq12d 3721	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ⟨(1o ·N 𝑥), (1o ·N 𝑦)⟩ = ⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩)
18	17	eceq1d 6473	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → [⟨(1o ·N 𝑥), (1o ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N 1o), (𝑦 ·N 1o)⟩] ~Q )
19		mulcanenqec 7218	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → [⟨(1o ·N 𝑥), (1o ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
20	7, 19	mp3an1 1303	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → [⟨(1o ·N 𝑥), (1o ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
21	10, 18, 20	3eqtr2d 2179	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
22	1, 4, 21	ecoptocl 6524	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535  (class class class)co 5782  1_oc1o 6314  [cec 6435  Ncnpi 7104   ·_N cmi 7106   ~_Q ceq 7111  Qcnq 7112  1_Qc1q 7113   ·_Q cmq 7115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-mi 7138  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7223  rec1nq  7227  ltaddnq  7239  halfnqq  7242  prarloclemarch  7250  ltrnqg  7252  addnqprllem  7359  addnqprulem  7360  addnqprl  7361  addnqpru  7362  appdivnq  7395  prmuloc2  7399  mulnqprl  7400  mulnqpru  7401  1idprl  7422  1idpru  7423  recexprlem1ssl  7465  recexprlem1ssu  7466