Theorem cos02pilt1 16096

Description: Cosine is less than one between zero and 2 · π. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		pire 16030	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π < 𝐴)
7	5, 3, 6	ltled 8452	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ≤ 𝐴)
8		0xr 8378	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		2re 9383	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 4	remulcli 8346	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	rexri 8389	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
12		elioo2 10339	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
13	8, 11, 12	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
14	13	simp3bi 1045	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
15	14	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
16		elico2 10355	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
17	4, 11, 16	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)))
19		cosq34lt1 16095	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
21	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (π / 2) < 𝐴)
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
24		halfpire 16036	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	rexri 8389	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
26		3re 9387	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 24	remulcli 8346	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
28	27	rexri 8389	. . . . . 6 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
29		elioo2 10339	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
30	25, 28, 29	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
32		elioore 10330	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	recoscld 12515	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
34		0red 8333	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 ∈ ℝ)
35		1red 8347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
36		cosq23lt0 16077	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
37		0lt1 8460	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 < 1)
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 8459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
40	31, 39	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
41		2lt3 9486	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42		2pos 9404	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
44		3pos 9407	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
46		pipos 16032	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
47	4, 46	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
48		ltdiv2 9225	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1378	. . . . . 6 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
50	41, 49	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
51		ltdivmul 9214	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1378	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
53	50, 52	mpbi 145	. . . 4 ⊢ π < (3 · (π / 2))
54		axltwlin 8399	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
56	53, 55	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
57	20, 40, 56	mpjaodan 810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
58	4	rexri 8389	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
59		0re 8332	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60	59, 4, 46	ltleii 8435	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
61		lbicc2 10402	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1378	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]π)
63	62	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ (0[,]π))
64	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		0red 8333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ ℝ)
66	13	simp2bi 1044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
67	66	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 < 𝐴)
68	65, 64, 67	ltled 8452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ≤ 𝐴)
69	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → π ∈ ℝ)
70		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
71	64, 69, 70	ltled 8452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ≤ π)
72	59, 4	elicc2i 10357	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
74	63, 73, 67	cosordlem 16094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < (cos‘0))
75		cos0 12521	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
76	74, 75	breqtrdi 4172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 1)
77		pirp 16033	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ+
78		rphalflt 10100	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (π / 2) < π
80		axltwlin 8399	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
82	79, 81	mpi 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π))
83	57, 76, 82	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   · cmul 8190  ℝ^*cxr 8365   < clt 8366   ≤ cle 8367   / cdiv 9010  2c2 9364  3c3 9365  ℝ⁺crp 10070  (,)cioo 10306  [,)cico 10308  [,]cicc 10309  cosccos 12436  πcpi 12438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-pre-suploc 8306  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-pm 6930  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-q 10035  df-rp 10071  df-xneg 10190  df-xadd 10191  df-ioo 10310  df-ioc 10311  df-ico 10312  df-icc 10313  df-fz 10428  df-fzo 10566  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-fac 11185  df-bc 11207  df-ihash 11236  df-shft 11601  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786  df-clim 12069  df-sumdc 12144  df-ef 12439  df-sin 12441  df-cos 12442  df-pi 12444  df-rest 13653  df-topgen 13672  df-psmet 14988  df-xmet 14989  df-met 14990  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-top 15241  df-topon 15254  df-bases 15286  df-ntr 15339  df-cn 15431  df-cnp 15432  df-tx 15496  df-cncf 15814  df-limced 15899  df-dvap 15900

This theorem is used by:  cos0pilt1  16097  taupi  17347