Theorem cos02pilt1 15765

Description: Cosine is less than one between zero and 2 · π. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		pire 15700	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π < 𝐴)
7	5, 3, 6	ltled 8397	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ≤ 𝐴)
8		0xr 8325	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		2re 9312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 4	remulcli 8293	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	rexri 8336	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
12		elioo2 10260	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
13	8, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
14	13	simp3bi 1041	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
15	14	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
16		elico2 10276	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
17	4, 11, 16	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)))
19		cosq34lt1 15764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
21	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (π / 2) < 𝐴)
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
24		halfpire 15706	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	rexri 8336	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
26		3re 9316	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 24	remulcli 8293	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
28	27	rexri 8336	. . . . . 6 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
29		elioo2 10260	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
30	25, 28, 29	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
32		elioore 10251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	recoscld 12418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
34		0red 8280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 ∈ ℝ)
35		1red 8294	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
36		cosq23lt0 15747	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
37		0lt1 8405	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 < 1)
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 8404	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
40	31, 39	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
41		2lt3 9413	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42		2pos 9333	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
44		3pos 9336	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
46		pipos 15702	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
47	4, 46	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
48		ltdiv2 9166	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1374	. . . . . 6 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
50	41, 49	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
51		ltdivmul 9155	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1374	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
53	50, 52	mpbi 145	. . . 4 ⊢ π < (3 · (π / 2))
54		axltwlin 8346	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
56	53, 55	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
57	20, 40, 56	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
58	4	rexri 8336	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
59		0re 8279	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60	59, 4, 46	ltleii 8381	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
61		lbicc2 10323	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1374	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]π)
63	62	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ (0[,]π))
64	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		0red 8280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ ℝ)
66	13	simp2bi 1040	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
67	66	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 < 𝐴)
68	65, 64, 67	ltled 8397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ≤ 𝐴)
69	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → π ∈ ℝ)
70		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
71	64, 69, 70	ltled 8397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ≤ π)
72	59, 4	elicc2i 10278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
74	63, 73, 67	cosordlem 15763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < (cos‘0))
75		cos0 12424	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
76	74, 75	breqtrdi 4152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 1)
77		pirp 15703	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ+
78		rphalflt 10022	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (π / 2) < π
80		axltwlin 8346	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
82	79, 81	mpi 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π))
83	57, 76, 82	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℝcr 8131  0cc0 8132  1c1 8133   · cmul 8137  ℝ^*cxr 8312   < clt 8313   ≤ cle 8314   / cdiv 8951  2c2 9293  3c3 9294  ℝ⁺crp 9992  (,)cioo 10227  [,)cico 10229  [,]cicc 10230  cosccos 12339  πcpi 12341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252  ax-pre-suploc 8253  ax-addf 8254  ax-mulf 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-pm 6887  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-xneg 10111  df-xadd 10112  df-ioo 10231  df-ioc 10232  df-ico 10233  df-icc 10234  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-fac 11096  df-bc 11118  df-ihash 11147  df-shft 11508  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047  df-ef 12342  df-sin 12344  df-cos 12345  df-pi 12347  df-rest 13475  df-topgen 13494  df-psmet 14740  df-xmet 14741  df-met 14742  df-bl 14743  df-mopn 14744  df-top 14912  df-topon 14925  df-bases 14957  df-ntr 15010  df-cn 15102  df-cnp 15103  df-tx 15167  df-cncf 15485  df-limced 15570  df-dvap 15571

This theorem is referenced by:  cos0pilt1  15766  taupi  16908