Theorem cos02pilt1 13214

Description: Cosine is less than one between zero and 2 · π. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		pire 13149	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ∈ ℝ)
6		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π < 𝐴)
7	5, 3, 6	ltled 7995	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ≤ 𝐴)
8		0xr 7925	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		2re 8904	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 4	remulcli 7893	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	rexri 7936	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
12		elioo2 9826	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
13	8, 11, 12	mp2an 423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
14	13	simp3bi 999	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
15	14	ad2antrr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
16		elico2 9842	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
17	4, 11, 16	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)))
19		cosq34lt1 13213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
21	2	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (π / 2) < 𝐴)
23		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
24		halfpire 13155	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	rexri 7936	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
26		3re 8908	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 24	remulcli 7893	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
28	27	rexri 7936	. . . . . 6 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
29		elioo2 9826	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
30	25, 28, 29	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
32		elioore 9817	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	recoscld 11625	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
34		0red 7880	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 ∈ ℝ)
35		1red 7894	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
36		cosq23lt0 13196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
37		0lt1 8003	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 < 1)
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 8002	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
40	31, 39	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
41		2lt3 9004	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42		2pos 8925	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 270	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
44		3pos 8928	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 270	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
46		pipos 13151	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
47	4, 46	pm3.2i 270	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
48		ltdiv2 8759	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1319	. . . . . 6 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
50	41, 49	mpbi 144	. . . . 5 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
51		ltdivmul 8748	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1319	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
53	50, 52	mpbi 144	. . . 4 ⊢ π < (3 · (π / 2))
54		axltwlin 7946	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1323	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
56	53, 55	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
57	20, 40, 56	mpjaodan 788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
58	4	rexri 7936	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
59		0re 7879	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60	59, 4, 46	ltleii 7980	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
61		lbicc2 9889	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1319	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]π)
63	62	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ (0[,]π))
64	1	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		0red 7880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ ℝ)
66	13	simp2bi 998	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
67	66	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 < 𝐴)
68	65, 64, 67	ltled 7995	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ≤ 𝐴)
69	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → π ∈ ℝ)
70		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
71	64, 69, 70	ltled 7995	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ≤ π)
72	59, 4	elicc2i 9844	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
74	63, 73, 67	cosordlem 13212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < (cos‘0))
75		cos0 11631	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
76	74, 75	breqtrdi 4006	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 1)
77		pirp 13152	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ+
78		rphalflt 9591	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (π / 2) < π
80		axltwlin 7946	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1323	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
82	79, 81	mpi 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π))
83	57, 76, 82	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3966  ‘cfv 5171  (class class class)co 5825  ℝcr 7732  0cc0 7733  1c1 7734   · cmul 7738  ℝ^*cxr 7912   < clt 7913   ≤ cle 7914   / cdiv 8546  2c2 8885  3c3 8886  ℝ⁺crp 9561  (,)cioo 9793  [,)cico 9795  [,]cicc 9796  cosccos 11546  πcpi 11548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853  ax-pre-suploc 7854  ax-addf 7855  ax-mulf 7856

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-disj 3944  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-of 6033  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-map 6596  df-pm 6597  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-sup 6929  df-inf 6930  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-5 8896  df-6 8897  df-7 8898  df-8 8899  df-9 8900  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-xneg 9680  df-xadd 9681  df-ioo 9797  df-ioc 9798  df-ico 9799  df-icc 9800  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-fac 10604  df-bc 10626  df-ihash 10654  df-shft 10719  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-sumdc 11255  df-ef 11549  df-sin 11551  df-cos 11552  df-pi 11554  df-rest 12395  df-topgen 12414  df-psmet 12429  df-xmet 12430  df-met 12431  df-bl 12432  df-mopn 12433  df-top 12438  df-topon 12451  df-bases 12483  df-ntr 12538  df-cn 12630  df-cnp 12631  df-tx 12695  df-cncf 13000  df-limced 13067  df-dvap 13068

This theorem is referenced by:  cos0pilt1  13215  taupi  13683