Theorem cos02pilt1 15935

Description: Cosine is less than one between zero and 2 · π. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		pire 15870	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π < 𝐴)
7	5, 3, 6	ltled 8439	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ≤ 𝐴)
8		0xr 8366	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		2re 9357	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 4	remulcli 8334	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	rexri 8377	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
12		elioo2 10306	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
13	8, 11, 12	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
14	13	simp3bi 1045	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
15	14	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
16		elico2 10322	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
17	4, 11, 16	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)))
19		cosq34lt1 15934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
21	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (π / 2) < 𝐴)
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
24		halfpire 15876	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	rexri 8377	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
26		3re 9361	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 24	remulcli 8334	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
28	27	rexri 8377	. . . . . 6 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
29		elioo2 10306	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
30	25, 28, 29	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
32		elioore 10297	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	recoscld 12474	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
34		0red 8321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 ∈ ℝ)
35		1red 8335	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
36		cosq23lt0 15917	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
37		0lt1 8447	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 < 1)
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 8446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
40	31, 39	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
41		2lt3 9458	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42		2pos 9378	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
44		3pos 9381	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
46		pipos 15872	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
47	4, 46	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
48		ltdiv2 9211	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1378	. . . . . 6 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
50	41, 49	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
51		ltdivmul 9200	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1378	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
53	50, 52	mpbi 145	. . . 4 ⊢ π < (3 · (π / 2))
54		axltwlin 8387	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
56	53, 55	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
57	20, 40, 56	mpjaodan 810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
58	4	rexri 8377	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
59		0re 8320	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60	59, 4, 46	ltleii 8422	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
61		lbicc2 10369	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1378	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]π)
63	62	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ (0[,]π))
64	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		0red 8321	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ ℝ)
66	13	simp2bi 1044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
67	66	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 < 𝐴)
68	65, 64, 67	ltled 8439	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ≤ 𝐴)
69	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → π ∈ ℝ)
70		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
71	64, 69, 70	ltled 8439	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ≤ π)
72	59, 4	elicc2i 10324	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
74	63, 73, 67	cosordlem 15933	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < (cos‘0))
75		cos0 12480	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
76	74, 75	breqtrdi 4169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 1)
77		pirp 15873	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ+
78		rphalflt 10067	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (π / 2) < π
80		axltwlin 8387	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
82	79, 81	mpi 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π))
83	57, 76, 82	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354   ≤ cle 8355   / cdiv 8996  2c2 9338  3c3 9339  ℝ⁺crp 10037  (,)cioo 10273  [,)cico 10275  [,]cicc 10276  cosccos 12395  πcpi 12397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ioc 10278  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-sin 12400  df-cos 12401  df-pi 12403  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741

This theorem is referenced by:  cos0pilt1  15936  taupi  17097