Theorem cos02pilt1 14275

Description: Cosine is less than one between zero and 2 · π. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9912	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		pire 14210	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π < 𝐴)
7	5, 3, 6	ltled 8076	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ≤ 𝐴)
8		0xr 8004	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		2re 8989	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 4	remulcli 7971	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	rexri 8015	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
12		elioo2 9921	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
13	8, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
14	13	simp3bi 1014	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
15	14	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
16		elico2 9937	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
17	4, 11, 16	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1181	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)))
19		cosq34lt1 14274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
21	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (π / 2) < 𝐴)
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
24		halfpire 14216	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	rexri 8015	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
26		3re 8993	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 24	remulcli 7971	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
28	27	rexri 8015	. . . . . 6 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
29		elioo2 9921	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
30	25, 28, 29	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1181	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
32		elioore 9912	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	recoscld 11732	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
34		0red 7958	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 ∈ ℝ)
35		1red 7972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
36		cosq23lt0 14257	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
37		0lt1 8084	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 < 1)
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 8083	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
40	31, 39	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
41		2lt3 9089	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42		2pos 9010	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
44		3pos 9013	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
46		pipos 14212	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
47	4, 46	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
48		ltdiv2 8844	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1337	. . . . . 6 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
50	41, 49	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
51		ltdivmul 8833	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1337	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
53	50, 52	mpbi 145	. . . 4 ⊢ π < (3 · (π / 2))
54		axltwlin 8025	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
56	53, 55	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < 𝐴 ∨ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
57	20, 40, 56	mpjaodan 798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
58	4	rexri 8015	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
59		0re 7957	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60	59, 4, 46	ltleii 8060	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
61		lbicc2 9984	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1337	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]π)
63	62	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ (0[,]π))
64	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		0red 7958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ ℝ)
66	13	simp2bi 1013	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
67	66	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 < 𝐴)
68	65, 64, 67	ltled 8076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ≤ 𝐴)
69	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → π ∈ ℝ)
70		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
71	64, 69, 70	ltled 8076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ≤ π)
72	59, 4	elicc2i 9939	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
74	63, 73, 67	cosordlem 14273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < (cos‘0))
75		cos0 11738	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
76	74, 75	breqtrdi 4045	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 1)
77		pirp 14213	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ+
78		rphalflt 9683	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (π / 2) < π
80		axltwlin 8025	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1341	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π)))
82	79, 81	mpi 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < 𝐴 ∨ 𝐴 < π))
83	57, 76, 82	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   · cmul 7816  ℝ^*cxr 7991   < clt 7992   ≤ cle 7993   / cdiv 8629  2c2 8970  3c3 8971  ℝ⁺crp 9653  (,)cioo 9888  [,)cico 9890  [,]cicc 9891  cosccos 11653  πcpi 11655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-pi 11661  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129

This theorem is referenced by:  cos0pilt1  14276  taupi  14823