ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos02pilt1 GIF version

Theorem cos02pilt1 14134
Description: Cosine is less than one between zero and 2 · π. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
cos02pilt1 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cos02pilt1
StepHypRef Expression
1 elioore 9907 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 276 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 pire 14069 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
54a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ∈ ℝ)
6 simpr 110 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π < 𝐴)
75, 3, 6ltled 8071 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → π ≤ 𝐴)
8 0xr 7999 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
9 2re 8984 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
109, 4remulcli 7967 . . . . . . . . 9 (2 · π) ∈ ℝ
1110rexri 8010 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℝ*
12 elioo2 9916 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < (2 · π))))
138, 11, 12mp2an 426 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < (2 · π)))
1413simp3bi 1014 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
1514ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
16 elico2 9932 . . . . . 6 ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴𝐴 < (2 · π))))
174, 11, 16mp2an 426 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴𝐴 < (2 · π)))
183, 7, 15, 17syl3anbrc 1181 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → 𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)))
19 cosq34lt1 14133 . . . 4 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
2018, 19syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ π < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
212adantr 276 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (π / 2) < 𝐴)
23 simpr 110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
24 halfpire 14075 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
2524rexri 8010 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ*
26 3re 8988 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
2726, 24remulcli 7967 . . . . . . 7 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
2827rexri 8010 . . . . . 6 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
29 elioo2 9916 . . . . . 6 (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
3025, 28, 29mp2an 426 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))))
3121, 22, 23, 30syl3anbrc 1181 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
32 elioore 9907 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3332recoscld 11724 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
34 0red 7954 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 ∈ ℝ)
35 1red 7968 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
36 cosq23lt0 14116 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
37 0lt1 8079 . . . . . 6 0 < 1
3837a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 0 < 1)
3933, 34, 35, 36, 38lttrd 8078 . . . 4 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
4031, 39syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 1)
41 2lt3 9084 . . . . . 6 2 < 3
42 2pos 9005 . . . . . . . 8 0 < 2
439, 42pm3.2i 272 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
44 3pos 9008 . . . . . . . 8 0 < 3
4526, 44pm3.2i 272 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
46 pipos 14071 . . . . . . . 8 0 < π
474, 46pm3.2i 272 . . . . . . 7 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
48 ltdiv2 8839 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
4943, 45, 47, 48mp3an 1337 . . . . . 6 (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
5041, 49mpbi 145 . . . . 5 (π / 3) < (π / 2)
51 ltdivmul 8828 . . . . . 6 ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
524, 24, 45, 51mp3an 1337 . . . . 5 ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
5350, 52mpbi 145 . . . 4 π < (3 · (π / 2))
54 axltwlin 8020 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
554, 27, 2, 54mp3an12i 1341 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < (3 · (π / 2)) → (π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
5653, 55mpi 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))))
5720, 40, 56mpjaodan 798 . 2 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 1)
584rexri 8010 . . . . . 6 π ∈ ℝ*
59 0re 7953 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
6059, 4, 46ltleii 8055 . . . . . 6 0 ≤ π
61 lbicc2 9979 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
628, 58, 60, 61mp3an 1337 . . . . 5 0 ∈ (0[,]π)
6362a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ (0[,]π))
641adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
65 0red 7954 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ∈ ℝ)
6613simp2bi 1013 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
6766adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 < 𝐴)
6865, 64, 67ltled 8071 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 0 ≤ 𝐴)
694a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → π ∈ ℝ)
70 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
7164, 69, 70ltled 8071 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ≤ π)
7259, 4elicc2i 9934 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
7364, 68, 71, 72syl3anbrc 1181 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
7463, 73, 67cosordlem 14132 . . 3 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < (cos‘0))
75 cos0 11730 . . 3 (cos‘0) = 1
7674, 75breqtrdi 4043 . 2 ((𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 1)
77 pirp 14072 . . . 4 π ∈ ℝ+
78 rphalflt 9678 . . . 4 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
7977, 78ax-mp 5 . . 3 (π / 2) < π
80 axltwlin 8020 . . . 4 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴𝐴 < π)))
8124, 4, 1, 80mp3an12i 1341 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < π → ((π / 2) < 𝐴𝐴 < π)))
8279, 81mpi 15 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((π / 2) < 𝐴𝐴 < π))
8357, 76, 82mpjaodan 798 1 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4002  cfv 5214  (class class class)co 5871  cr 7806  0cc0 7807  1c1 7808   · cmul 7812  *cxr 7986   < clt 7987  cle 7988   / cdiv 8624  2c2 8965  3c3 8966  +crp 9648  (,)cioo 9883  [,)cico 9885  [,]cicc 9886  cosccos 11645  πcpi 11647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927  ax-pre-suploc 7928  ax-addf 7929  ax-mulf 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3980  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-of 6079  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-frec 6388  df-1o 6413  df-oadd 6417  df-er 6531  df-map 6646  df-pm 6647  df-en 6737  df-dom 6738  df-fin 6739  df-sup 6979  df-inf 6980  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-5 8976  df-6 8977  df-7 8978  df-8 8979  df-9 8980  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-xneg 9767  df-xadd 9768  df-ioo 9887  df-ioc 9888  df-ico 9889  df-icc 9890  df-fz 10004  df-fzo 10137  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-fac 10698  df-bc 10720  df-ihash 10748  df-shft 10816  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-clim 11279  df-sumdc 11354  df-ef 11648  df-sin 11650  df-cos 11651  df-pi 11653  df-rest 12677  df-topgen 12696  df-psmet 13307  df-xmet 13308  df-met 13309  df-bl 13310  df-mopn 13311  df-top 13358  df-topon 13371  df-bases 13403  df-ntr 13458  df-cn 13550  df-cnp 13551  df-tx 13615  df-cncf 13920  df-limced 13987  df-dvap 13988
This theorem is referenced by:  cos0pilt1  14135  taupi  14671
  Copyright terms: Public domain W3C validator