Theorem reapcotr 8051

Description: Real apartness is cotransitive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapcotr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Proof of Theorem reapcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reaplt 8041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
2	1	3adant3 963	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3		axltwlin 7533	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
4		axltwlin 7533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
5	4	3com12 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
6	3, 5	orim12d 735	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴))))
7	2, 6	sylbid 148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴))))
8		orcom 682	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ↔ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶))
9	8	orbi2i 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶)))
10		or42 724	. . . 4 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
11	9, 10	bitri 182	. . 3 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
12	7, 11	syl6ib 159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵))))
13		reaplt 8041	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
14	13	3adant2 962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
15		reaplt 8041	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
16	15	3adant1 961	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
17	14, 16	orbi12d 742	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵))))
18	12, 17	sylibrd 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∨ wo 664   ∧ w3a 924   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3837  ℝcr 7328   < clt 7501   # cap 8034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-ltxr 7506  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035

This theorem is referenced by:  apcotr  8060