Theorem reapcotr 7975

Description: Real apartness is cotransitive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapcotr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Proof of Theorem reapcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reaplt 7965	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
2	1	3adant3 959	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3		axltwlin 7457	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
4		axltwlin 7457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
5	4	3com12 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
6	3, 5	orim12d 733	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴))))
7	2, 6	sylbid 148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴))))
8		orcom 680	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ↔ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶))
9	8	orbi2i 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶)))
10		or42 722	. . . 4 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
11	9, 10	bitri 182	. . 3 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
12	7, 11	syl6ib 159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵))))
13		reaplt 7965	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
14	13	3adant2 958	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
15		reaplt 7965	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
16	15	3adant1 957	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
17	14, 16	orbi12d 740	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵))))
18	12, 17	sylibrd 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∨ wo 662   ∧ w3a 920   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811  ℝcr 7252   < clt 7425   # cap 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959

This theorem is referenced by:  apcotr  7984