Theorem reapcotr 8920

Description: Real apartness is cotransitive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapcotr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Proof of Theorem reapcotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reaplt 8910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
2	1	3adant3 1048	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3		axltwlin 8387	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
4		axltwlin 8387	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
5	4	3com12 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
6	3, 5	orim12d 798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴))))
7	2, 6	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴))))
8		orcom 740	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ↔ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶))
9	8	orbi2i 774	. . . 4 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶)))
10		or42 784	. . . 4 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐵 < 𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
11	9, 10	bitri 184	. . 3 ⊢ (((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
12	7, 11	imbitrdi 161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵))))
13		reaplt 8910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
14	13	3adant2 1047	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴)))
15		reaplt 8910	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
16	15	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
17	14, 16	orbi12d 805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶) ↔ ((𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵))))
18	12, 17	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ℝcr 8172   < clt 8354   # cap 8903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904

This theorem is referenced by:  apcotr  8929