ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reapcotr GIF version

Theorem reapcotr 8323
Description: Real apartness is cotransitive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
reapcotr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶𝐵 # 𝐶)))

Proof of Theorem reapcotr
StepHypRef Expression
1 reaplt 8313 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
213adant3 984 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
3 axltwlin 7796 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
4 axltwlin 7796 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐴)))
543com12 1168 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐴)))
63, 5orim12d 758 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐴))))
72, 6sylbid 149 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐴))))
8 orcom 700 . . . . 5 ((𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐴) ↔ (𝐶 < 𝐴𝐵 < 𝐶))
98orbi2i 734 . . . 4 (((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐴)) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐶 < 𝐴𝐵 < 𝐶)))
10 or42 744 . . . 4 (((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐶 < 𝐴𝐵 < 𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
119, 10bitri 183 . . 3 (((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐴)) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
127, 11syl6ib 160 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
13 reaplt 8313 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐴)))
14133adant2 983 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐴)))
15 reaplt 8313 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
16153adant1 982 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1714, 16orbi12d 765 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 𝐶𝐵 # 𝐶) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐴) ∨ (𝐵 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
1812, 17sylibrd 168 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶𝐵 # 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wo 680  w3a 945  wcel 1463   class class class wbr 3897  cr 7583   < clt 7764   # cap 8306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-ltxr 7769  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307
This theorem is referenced by:  apcotr  8332
  Copyright terms: Public domain W3C validator