ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abslt GIF version

Theorem abslt 11132
Description: Absolute value and 'less than' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abslt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem abslt
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21renegcld 8368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
31recnd 8017 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 abscl 11095 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
53, 4syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 leabs 11118 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
82, 7syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9 absneg 11094 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
103, 9syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
118, 10breqtrd 4044 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12 simpr 110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
132, 5, 6, 11, 12lelttrd 8113 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 < 𝐵)
14 leabs 11118 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
1514ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
161, 5, 6, 15, 12lelttrd 8113 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
1713, 16jca 306 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
18 simpll 527 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2019recnd 8017 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2120, 9syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
2219renegcld 8368 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
23 0red 7989 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
24 ltabs 11131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
2519, 23, 24ltled 8107 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
2619le0neg1d 8505 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
2725, 26mpbid 147 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
28 absid 11115 . . . . . . . 8 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
2922, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
3021, 29eqtr3d 2224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
3118, 30sylan 283 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
32 simplrl 535 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 < 𝐵)
3331, 32eqbrtrd 4040 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
34 simpr 110 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
35 simprr 531 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝐵)
36 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3718recnd 8017 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837, 4syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
39 axltwlin 8056 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵)))
4018, 36, 38, 39syl3anc 1249 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵)))
4135, 40mpd 13 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵))
4233, 34, 41mpjaodan 799 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
4317, 42impbida 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)))
44 ltnegcon1 8451 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < 𝐴))
4544anbi1d 465 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
4643, 45bitrd 188 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5235  cc 7840  cr 7841  0cc0 7842   < clt 8023  cle 8024  -cneg 8160  abscabs 11041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043
This theorem is referenced by:  absdiflt  11136  abslti  11182  absltd  11218
  Copyright terms: Public domain W3C validator