Theorem abslt 11030

Description: Absolute value and 'less than' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abslt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem abslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8278	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		abscl 10993	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		leabs 11016	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9		absneg 10992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
11	8, 10	breqtrd 4008	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
13	2, 5, 6, 11, 12	lelttrd 8023	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 < 𝐵)
14		leabs 11016	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
15	14	ad2antrr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	1, 5, 6, 15, 12	lelttrd 8023	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
17	13, 16	jca 304	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵))
18		simpll 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	recnd 7927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
22	19	renegcld 8278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
23		0red 7900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
24		ltabs 11029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
25	19, 23, 24	ltled 8017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
26	19	le0neg1d 8415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
27	25, 26	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
28		absid 11013	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
29	22, 27, 28	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
30	21, 29	eqtr3d 2200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
31	18, 30	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
32		simplrl 525	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 < 𝐵)
33	31, 32	eqbrtrd 4004	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
34		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
35		simprr 522	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝐵)
36		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	18	recnd 7927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
39		axltwlin 7966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵)))
40	18, 36, 38, 39	syl3anc 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵)))
41	35, 40	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵))
42	33, 34, 41	mpjaodan 788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
43	17, 42	impbida 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
44		ltnegcon1 8361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < 𝐴))
45	44	anbi1d 461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
46	43, 45	bitrd 187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   ≤ cle 7934  -cneg 8070  abscabs 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by:  absdiflt  11034  abslti  11080  absltd  11116