ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle GIF version

Theorem absle 11053
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵𝐴𝐴𝐵)))

Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 524 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21renegcld 8299 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
31recnd 7948 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 abscl 11015 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
53, 4syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6 simplr 525 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 leabs 11038 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
82, 7syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9 absneg 11014 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
103, 9syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
118, 10breqtrd 4015 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
132, 5, 6, 11, 12letrd 8043 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴𝐵)
14 leabs 11038 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
1514ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
161, 5, 6, 15, 12letrd 8043 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
1713, 16jca 304 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (-𝐴𝐵𝐴𝐵))
18 simpll 524 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 simplr 525 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2018recnd 7948 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
22 axltwlin 7987 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < (abs‘𝐴))))
2319, 21, 18, 22syl3anc 1233 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < (abs‘𝐴))))
24 simprr 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
2518, 19lenltd 8037 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2624, 25mpbid 146 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
27 pm2.53 717 . . . . . . . . 9 ((𝐵 < 𝐴𝐴 < (abs‘𝐴)) → (¬ 𝐵 < 𝐴𝐴 < (abs‘𝐴)))
2823, 26, 27syl6ci 1438 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → 𝐴 < (abs‘𝐴)))
29 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3029recnd 7948 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
3229renegcld 8299 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
33 0red 7921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
34 ltabs 11051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
3529, 33, 34ltled 8038 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
3629le0neg1d 8436 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
3735, 36mpbid 146 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
38 absid 11035 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
3932, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
4031, 39eqtr3d 2205 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
4118, 28, 40syl6an 1427 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) = -𝐴))
42 simprl 526 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → -𝐴𝐵)
43 breq1 3992 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ -𝐴𝐵))
4442, 43syl5ibrcom 156 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
4541, 44syld 45 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
4621, 19lenltd 8037 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴)))
4745, 46sylibd 148 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴)))
4847pm2.01d 613 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴))
4948, 46mpbird 166 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
5017, 49impbida 591 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)))
51 lenegcon1 8385 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))
5251anbi1d 462 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴𝐵𝐴𝐵) ↔ (-𝐵𝐴𝐴𝐵)))
5350, 52bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵𝐴𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  cfv 5198  cc 7772  cr 7773  0cc0 7774   < clt 7954  cle 7955  -cneg 8091  abscabs 10961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963
This theorem is referenced by:  absdifle  11057  lenegsq  11059  abs2difabs  11072  abslei  11103  absled  11139  dfabsmax  11181  rpabscxpbnd  13653
  Copyright terms: Public domain W3C validator