ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle GIF version

Theorem absle 10984
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵𝐴𝐴𝐵)))

Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21renegcld 8250 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
31recnd 7901 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 abscl 10946 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
53, 4syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6 simplr 520 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 leabs 10969 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
82, 7syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9 absneg 10945 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
103, 9syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
118, 10breqtrd 3990 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
132, 5, 6, 11, 12letrd 7994 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴𝐵)
14 leabs 10969 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
1514ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
161, 5, 6, 15, 12letrd 7994 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
1713, 16jca 304 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (-𝐴𝐵𝐴𝐵))
18 simpll 519 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 simplr 520 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2018recnd 7901 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
22 axltwlin 7940 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < (abs‘𝐴))))
2319, 21, 18, 22syl3anc 1220 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < (abs‘𝐴))))
24 simprr 522 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
2518, 19lenltd 7988 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2624, 25mpbid 146 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
27 pm2.53 712 . . . . . . . . 9 ((𝐵 < 𝐴𝐴 < (abs‘𝐴)) → (¬ 𝐵 < 𝐴𝐴 < (abs‘𝐴)))
2823, 26, 27syl6ci 1425 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → 𝐴 < (abs‘𝐴)))
29 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3029recnd 7901 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
3229renegcld 8250 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
33 0red 7874 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
34 ltabs 10982 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
3529, 33, 34ltled 7989 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
3629le0neg1d 8387 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
3735, 36mpbid 146 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
38 absid 10966 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
3932, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
4031, 39eqtr3d 2192 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
4118, 28, 40syl6an 1414 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) = -𝐴))
42 simprl 521 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → -𝐴𝐵)
43 breq1 3968 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ -𝐴𝐵))
4442, 43syl5ibrcom 156 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
4541, 44syld 45 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
4621, 19lenltd 7988 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴)))
4745, 46sylibd 148 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴)))
4847pm2.01d 608 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴))
4948, 46mpbird 166 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
5017, 49impbida 586 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐴𝐵𝐴𝐵)))
51 lenegcon1 8336 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))
5251anbi1d 461 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴𝐵𝐴𝐵) ↔ (-𝐵𝐴𝐴𝐵)))
5350, 52bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵𝐴𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3965  cfv 5169  cc 7725  cr 7726  0cc0 7727   < clt 7907  cle 7908  -cneg 8042  abscabs 10892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-rp 9556  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894
This theorem is referenced by:  absdifle  10988  lenegsq  10990  abs2difabs  11003  abslei  11034  absled  11070  dfabsmax  11112  rpabscxpbnd  13246
  Copyright terms: Public domain W3C validator