Theorem absle 11233

Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem absle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8399	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1	recnd 8048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		abscl 11195	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		leabs 11218	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9		absneg 11194	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
11	8, 10	breqtrd 4055	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
13	2, 5, 6, 11, 12	letrd 8143	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ 𝐵)
14		leabs 11218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
15	14	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	1, 5, 6, 15, 12	letrd 8143	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	13, 16	jca 306	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	18	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 4	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
22		axltwlin 8087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (abs‘𝐴))))
23	19, 21, 18, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (abs‘𝐴))))
24		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
25	18, 19	lenltd 8137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
26	24, 25	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
27		pm2.53 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < (abs‘𝐴)))
28	23, 26, 27	syl6ci 1456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → 𝐴 < (abs‘𝐴)))
29		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	29	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
32	29	renegcld 8399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 8020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
34		ltabs 11231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
35	29, 33, 34	ltled 8138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
36	29	le0neg1d 8536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
37	35, 36	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
38		absid 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
39	32, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
40	31, 39	eqtr3d 2228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
41	18, 28, 40	syl6an 1445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) = -𝐴))
42		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → -𝐴 ≤ 𝐵)
43		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ -𝐴 ≤ 𝐵))
44	42, 43	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
45	41, 44	syld 45	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
46	21, 19	lenltd 8137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴)))
47	45, 46	sylibd 149	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴)))
48	47	pm2.01d 619	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴))
49	48, 46	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
50	17, 49	impbida 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
51		lenegcon1 8485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
52	51	anbi1d 465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
53	50, 52	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   < clt 8054   ≤ cle 8055  -cneg 8191  abscabs 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  absdifle  11237  lenegsq  11239  abs2difabs  11252  abslei  11283  absled  11319  dfabsmax  11361  rpabscxpbnd  15073  lgseisen  15190