Theorem dedekindicclemlub 14783

Description: Lemma for dedekindicc 14787. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemlub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindicclemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		dedekindicc.lss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		eleq1w 2254	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ 𝐿))
7	6	cbvrexv 2727	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 ∈ 𝐿)
8		rexex 2540	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
9	7, 8	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
11		dedekindicc.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
12		dedekindicc.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
13		dedekindicc.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
14		dedekindicc.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
15		dedekindicc.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
16		dedekindicc.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
17	1, 2, 4, 11, 5, 12, 13, 14, 15, 16	dedekindicclemloc 14782	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
18	1, 2, 3, 4, 10, 17	suplociccex 14779	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871   < clt 8054  [,]cicc 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-icc 9961  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlu  14784