Theorem dich0 15168

Description: Real number dichotomy stated in terms of two real numbers or a real number and zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dich0	⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dich0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 ≤ 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ≤ 0))
2		breq2 4051	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)))
3	1, 2	orbi12d 795	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ 0 ∨ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦))))
4		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧))
5		resubcl 8343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
7	3, 4, 6	rspcdva 2883	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ 0 ∨ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)))
8		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	8, 9	suble0d 8616	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
11	8, 9	subge0d 8615	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (0 ≤ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
12	10, 11	orbi12d 795	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝑥 − 𝑦) ≤ 0 ∨ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
13	7, 12	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
14	13	ralrimivva 2589	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
15		breq2 4051	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 0))
16		breq1 4050	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
17	15, 16	orbi12d 795	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧) ↔ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧)))
18		breq1 4050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
19		breq2 4051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
20	18, 19	orbi12d 795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑧 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧)))
21	20	ralbidv 2507	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧)))
22	21	rspccva 2877	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧))
23		0red 8080	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
24	17, 22, 23	rspcdva 2883	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧))
25	24	ralrimiva 2580	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧))
26	14, 25	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℝcr 7931  0cc0 7932   ≤ cle 8115   − cmin 8250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253

This theorem is referenced by:  ivthdich  15169