Theorem dich0 14831

Description: Real number dichotomy stated in terms of two real numbers or a real number and zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dich0	⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dich0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4033	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 ≤ 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ≤ 0))
2		breq2 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)))
3	1, 2	orbi12d 794	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ 0 ∨ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦))))
4		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧))
5		resubcl 8285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
7	3, 4, 6	rspcdva 2870	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ 0 ∨ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)))
8		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	8, 9	suble0d 8557	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
11	8, 9	subge0d 8556	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (0 ≤ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
12	10, 11	orbi12d 794	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝑥 − 𝑦) ≤ 0 ∨ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
13	7, 12	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
14	13	ralrimivva 2576	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
15		breq2 4034	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 0))
16		breq1 4033	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
17	15, 16	orbi12d 794	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧) ↔ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧)))
18		breq1 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
19		breq2 4034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
20	18, 19	orbi12d 794	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑧 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧)))
21	20	ralbidv 2494	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧)))
22	21	rspccva 2864	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑧))
23		0red 8022	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
24	17, 22, 23	rspcdva 2870	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧))
25	24	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧))
26	14, 25	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874   ≤ cle 8057   − cmin 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195

This theorem is referenced by:  ivthdich  14832