ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetsym GIF version
Theorem psmetsym 13914
Description: The distance function of a pseudometric is symmetrical. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetsym ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
Proof of Theorem psmetsym
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
2 simp3 999 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3 simp2 998 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
4 psmettri2 13913 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (𝐡𝐷𝐡)))
51, 2, 3, 2, 4syl13anc 1240 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (𝐡𝐷𝐡)))
6 psmet0 13912 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) = 0)
763adant2 1016 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐡) = 0)
87oveq2d 5893 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (𝐡𝐷𝐡)) = ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 0))
9 psmetcl 13911 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
10 xaddid1 9864 . . . . . 6 ((𝐡𝐷𝐴) ∈ ℝ* β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐡𝐷𝐴))
119, 10syl 14 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐡𝐷𝐴))
12113com23 1209 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐡𝐷𝐴))
138, 12eqtrd 2210 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (𝐡𝐷𝐡)) = (𝐡𝐷𝐴))
145, 13breqtrd 4031 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ (𝐡𝐷𝐴))
15 psmettri2 13913 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
161, 3, 2, 3, 15syl13anc 1240 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
17 psmet0 13912 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐴) = 0)
18173adant3 1017 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐴) = 0)
1918oveq2d 5893 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0))
20 psmetcl 13911 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
21 xaddid1 9864 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐡))
2220, 21syl 14 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐡))
2319, 22eqtrd 2210 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = (𝐴𝐷𝐡))
2416, 23breqtrd 4031 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
2593com23 1209 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
26 xrletri3 9806 . . 3 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (𝐡𝐷𝐴) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴) ↔ ((𝐴𝐷𝐡) ≀ (𝐡𝐷𝐴) ∧ (𝐡𝐷𝐴) ≀ (𝐴𝐷𝐡))))
2720, 25, 26syl2anc 411 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴) ↔ ((𝐴𝐷𝐡) ≀ (𝐡𝐷𝐴) ∧ (𝐡𝐷𝐴) ≀ (𝐴𝐷𝐡))))
2814, 24, 27mpbir2and 944 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813  β„*cxr 7993   ≀ cle 7995   +𝑒 cxad 9772  PsMetcpsmet 13524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-apti 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-xadd 9775  df-psmet 13532
This theorem is referenced by:  psmettri  13915  distspace  13920  elbl3ps  13979  blssps  14012
  Copyright terms: Public domain W3C validator