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Theorem isprm3 10966
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 10965 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2 dvdszrcl 10667 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
32simpld 110 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝑧 ∈ ℤ)
4 1zzd 8702 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → 1 ∈ ℤ)
5 zdceq 8747 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 1)
63, 4, 5syl2an2 559 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → DECID 𝑧 = 1)
72simprd 112 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑃𝑃 ∈ ℤ)
87adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
9 zdceq 8747 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 𝑃)
103, 8, 9syl2an2 559 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → DECID 𝑧 = 𝑃)
11 dcor 879 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑧 = 1 → (DECID 𝑧 = 𝑃DECID (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
126, 10, 11sylc 61 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → DECID (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
13 imandc 822 . . . . . . . 8 (DECID (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
15 eluz2nn 8981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
16 nnz 8694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
17 dvdsle 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
1816, 17sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
19 nnge1 8372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑧)
2019adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑧)
2118, 20jctild 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
2215, 21sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
23 nnz 8694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
24 zre 8679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
25 1re 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
26 leltap 8034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 # 1))
2725, 26mp3an1 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 # 1))
2824, 27sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 # 1))
29 1z 8701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℤ
30 zapne 8746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑧 # 1 ↔ 𝑧 ≠ 1))
3129, 30mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 # 1 ↔ 𝑧 ≠ 1))
3231adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (𝑧 # 1 ↔ 𝑧 ≠ 1))
3328, 32bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
34333adant2 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
35343expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑧 → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1)))
36 zre 8679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
37 leltap 8034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 < 𝑃𝑃 # 𝑧))
3824, 37syl3an1 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 < 𝑃𝑃 # 𝑧))
3936, 38syl3an2 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 < 𝑃𝑃 # 𝑧))
40 zapne 8746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑃 # 𝑧𝑃𝑧))
4140ancoms 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 # 𝑧𝑃𝑧))
42413adant3 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 # 𝑧𝑃𝑧))
4339, 42bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))
44433expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)))
4535, 44anim12d 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
4623, 45sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
47 pm4.38 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧)))
48 df-ne 2252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
49 nesym 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃𝑧 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑃)
5048, 49anbi12i 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
51 ioran 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
5250, 51bitr4i 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
5347, 52syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
5446, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
5516, 15, 54syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
5622, 55syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
5756imp 122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
58 eluzelz 8952 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
59 zltp1le 8729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
6029, 59mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
61 df-2 8408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
6261breq1i 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧)
6360, 62syl6bbr 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
6463adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
65 zltlem1 8732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
6664, 65anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
67 peano2zm 8713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
68 2z 8703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
69 elfz 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
7068, 69mp3an2 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
7167, 70sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
7266, 71bitr4d 189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
7316, 58, 72syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
7473adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
7557, 74bitr3d 188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
7675anasss 391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃)) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
7776expcom 114 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 ∈ ℕ → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
7877pm5.32d 438 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
79 fzssuz 9402 . . . . . . . . . . . . 13 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘2)
80 2eluzge1 8988 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘1)
81 uzss 8963 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1))
8280, 81ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1)
8379, 82sstri 3023 . . . . . . . . . . . 12 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘1)
84 nnuz 8978 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
8583, 84sseqtr4i 3048 . . . . . . . . . . 11 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
8685sseli 3010 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
8786pm4.71ri 384 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
8878, 87syl6bbr 196 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
8988notbid 625 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
9014, 89bitrd 186 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
9190pm5.74da 432 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
92 bi2.04 246 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
93 con2b 626 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃))
9491, 92, 933bitr3g 220 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃)))
9594ralbidv2 2378 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
9695pm5.32i 442 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
971, 96bitri 182 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 778  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251  wral 2355  wss 2988   class class class wbr 3819  cfv 4977  (class class class)co 5606  cr 7285  1c1 7287   + caddc 7289   < clt 7458  cle 7459  cmin 7589   # cap 7991  cn 8349  2c2 8399  cz 8675  cuz 8943  ...cfz 9348  cdvds 10662  cprime 10955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-mulrcl 7380  ax-addcom 7381  ax-mulcom 7382  ax-addass 7383  ax-mulass 7384  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-1rid 7388  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-precex 7391  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-apti 7396  ax-pre-ltadd 7397  ax-pre-mulgt0 7398  ax-pre-mulext 7399  ax-arch 7400  ax-caucvg 7401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-po 4095  df-iso 4096  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-1st 5861  df-2nd 5862  df-recs 6017  df-frec 6103  df-1o 6128  df-2o 6129  df-er 6237  df-en 6403  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-reap 7985  df-ap 7992  df-div 8071  df-inn 8350  df-2 8408  df-3 8409  df-4 8410  df-n0 8599  df-z 8676  df-uz 8944  df-q 9029  df-rp 9059  df-fz 9349  df-iseq 9772  df-iexp 9845  df-cj 10163  df-re 10164  df-im 10165  df-rsqrt 10318  df-abs 10319  df-dvds 10663  df-prm 10956
This theorem is referenced by:  prmind2  10968  2prm  10975  3prm  10976
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