Theorem isprm3 12101

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 12100	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2		dvdszrcl 11783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
3	2	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ∈ ℤ)
4		1zzd 9269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℤ)
5		zdceq 9317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 1)
6	3, 4, 5	syl2an2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → DECID 𝑧 = 1)
7	2	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑃 ∈ ℤ)
8	7	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
9		zdceq 9317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 𝑃)
10	3, 8, 9	syl2an2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → DECID 𝑧 = 𝑃)
11		dcor 935	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑧 = 1 → (DECID 𝑧 = 𝑃 → DECID (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
12	6, 10, 11	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → DECID (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
13		imandc 889	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
15		eluz2nn 9555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
16		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
17		dvdsle 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
19		nnge1 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑧)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑧)
21	18, 20	jctild 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃)))
22	15, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃)))
23		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
24		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
25		1re 7947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		leltap 8572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 # 1))
27	25, 26	mp3an1 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 # 1))
28	24, 27	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 # 1))
29		1z 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		zapne 9316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑧 # 1 ↔ 𝑧 ≠ 1))
31	29, 30	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 # 1 ↔ 𝑧 ≠ 1))
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (𝑧 # 1 ↔ 𝑧 ≠ 1))
33	28, 32	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1))
34	33	3adant2 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1))
35	34	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑧 → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1)))
36		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
37		leltap 8572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 # 𝑧))
38	24, 37	syl3an1 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 # 𝑧))
39	36, 38	syl3an2 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 # 𝑧))
40		zapne 9316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑃 # 𝑧 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))
41	40	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 # 𝑧 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))
42	41	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → (𝑃 # 𝑧 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))
43	39, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))
44	43	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ 𝑃 → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)))
45	35, 44	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))))
46	23, 45	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))))
47		pm4.38 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ (𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧)))
48		df-ne 2348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
49		nesym 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑃)
50	48, 49	anbi12i 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
51		ioran 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
52	50, 51	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
53	47, 52	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
54	46, 53	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
55	16, 15, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
56	22, 55	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
58		eluzelz 9526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
59		zltp1le 9296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
60	29, 59	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
61		df-2 8967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
62	61	breq1i 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧)
63	60, 62	bitr4di 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
65		zltlem1 9299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
66	64, 65	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
67		peano2zm 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
68		2z 9270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
69		elfz 10001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
70	68, 69	mp3an2 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
71	67, 70	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
72	66, 71	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
73	16, 58, 72	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
75	57, 74	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
76	75	anasss 399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
77	76	expcom 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 ∈ ℕ → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
78	77	pm5.32d 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
79		fzssuz 10051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
80		2eluzge1 9565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
81		uzss 9537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘2) ⊆ (ℤ≥‘1))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ (ℤ≥‘1)
83	79, 82	sstri 3164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘1)
84		nnuz 9552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
85	83, 84	sseqtrri 3190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
86	85	sseli 3151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
87	86	pm4.71ri 392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
88	78, 87	bitr4di 198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
89	88	notbid 667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
90	14, 89	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
91	90	pm5.74da 443	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
92		bi2.04 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
93		con2b 669	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
94	91, 92, 93	3bitr3g 222	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
95	94	ralbidv2 2479	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
96	95	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
97	1, 96	bitri 184	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℝcr 7801  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   ≤ cle 7983   − cmin 8118   # cap 8528  ℕcn 8908  2c2 8959  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ...cfz 9995   ∥ cdvds 11778  ℙcprime 12090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-prm 12091

This theorem is referenced by:  prmind2  12103  2prm  12110  3prm  12111  prmdc  12113  isprm5  12125