hashdvds - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem hashdvds 12709

Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hashdvds.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashdvds.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
hashdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)))
hashdvds.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)

**Assertion**
Ref	Expression
hashdvds	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝑁 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashdvds Dummy variables 𝑎 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		hashdvds.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)))
3		eluzelz 9699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		hashdvds.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6	4, 5	zsubcld 9542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
7		hashdvds.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		znq 9787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ)
10	9	flqcld 10464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
11		hashdvds.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		peano2zm 9452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
14	13, 5	zsubcld 9542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℤ)
15		znq 9787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ)
16	14, 7, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ)
17	16	flqcld 10464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
18	10, 17	zsubcld 9542	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ)
19		fzen 10207	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
20	1, 18, 17, 19	syl3anc 1252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
21		ax-1cn 8060	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	17	zcnd 9538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
23		addcom 8251	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
24	21, 22, 23	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
25	10	zcnd 9538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
26	25, 22	npcand 8429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
27	24, 26	oveq12d 5992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) = (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
28	20, 27	breqtrd 4088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
29	17	peano2zd 9540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
30	29, 10	fzfigd 10620	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∈ Fin)
31	30	elexd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∈ V)
32	11, 4	fzfigd 10620	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴...𝐵) ∈ Fin)
33		elfzelz 10189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝑎 ∈ ℤ)
35	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
36	34, 35	zsubcld 9542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)) → (𝑎 − 𝐶) ∈ ℤ)
37		dvdsdc 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 − 𝐶) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶))
38	7, 36, 37	syl2an2r 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)) → DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶))
39	38	ralrimiva 2583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶))
40		oveq1 5981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 − 𝐶) = (𝑎 − 𝐶))
41	40	breq2d 4074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶)))
42	41	dcbid 842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (DECID 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶)))
43	42	cbvralv 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴...𝐵)DECID 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶))
44	39, 43	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴...𝐵)DECID 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶))
45	32, 44	ssfirab 7066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin)
46	45	elexd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ V)
47		elfzle1 10191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
49		elfzelz 10189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ)
50		zltp1le 9469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
51	17, 49, 50	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
52	48, 51	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧)
53		flqlt 10470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
54	16, 49, 53	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
55	52, 54	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧)
56	14	zred 9537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
58	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
59	58	zred 9537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
60	7	nnred 9091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
61	7	nngt0d 9122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
62	60, 61	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
64		ltdivmul2 8993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
65	57, 59, 63, 64	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
66	55, 65	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁))
67	13	zred 9537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
69	5	zred 9537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
71	7	nnzd 9536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73	58, 72	zmulcld 9543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℤ)
74	73	zred 9537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ)
75	68, 70, 74	ltsubaddd 8656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
77	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ)
78	73, 77	zaddcld 9541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ)
79		zlem1lt 9471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
80	11, 78, 79	syl2an2r 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
81	76, 80	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
82		elfzle2 10192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
84		flqge 10469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
85	9, 49, 84	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
86	83, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
87	6	zred 9537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
89		lemuldiv 8996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
90	59, 88, 63, 89	syl3anc 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
91	86, 90	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶))
92	4	zred 9537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
94		leaddsub 8553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
95	74, 70, 93, 94	syl3anc 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)
97	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
98	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
99		elfz 10178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ↔ (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)))
100	78, 97, 98, 99	syl3anc 1252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ↔ (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)))
101	81, 96, 100	mpbir2and 949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵))
102		dvdsmul2 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
103	58, 72, 102	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
104	73	zcnd 9538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
105	5	zcnd 9538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
106	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
107	104, 106	pncand 8426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁))
108	103, 107	breqtrrd 4090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
109		oveq1 5981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑥 − 𝐶) = (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
110	109	breq2d 4074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
111	110	elrab 2939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ↔ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
112	101, 108, 111	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
113	112	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
114		oveq1 5981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝐶) = (𝑦 − 𝐶))
115	114	breq2d 4074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))
116	115	elrab 2939	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))
117	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
118		elfzelz 10189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
119	118	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℤ)
120	119	zred 9537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
121	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
122		elfzle1 10191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑦)
123	122	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
124		zlem1lt 9471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
125	11, 119, 124	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
126	123, 125	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 − 1) < 𝑦)
127	117, 120, 121, 126	ltsub1dd 8672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶))
128	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
129	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℤ)
130	119, 129	zsubcld 9542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℤ)
131	130	zred 9537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ)
132	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
133		ltdiv1 8983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
134	128, 131, 132, 133	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
135	127, 134	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
136		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))
137	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ∈ ℤ)
138	7	nnne0d 9123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
139	138	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ≠ 0)
140		dvdsval2 12267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑦 − 𝐶) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
141	137, 139, 130, 140	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
142	136, 141	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ)
143		flqlt 10470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
144	16, 142, 143	syl2an2r 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
145	135, 144	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
146		zltp1le 9469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
147	17, 142, 146	syl2an2r 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
148	145, 147	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
149	92	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
150		elfzle2 10192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
151	150	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ≤ 𝐵)
152	120, 149, 121, 151	lesub1dd 8676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))
153	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
154		lediv1 8984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
155	131, 153, 132, 154	syl3anc 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
156	152, 155	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
157		flqge 10469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
158	9, 142, 157	syl2an2r 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
159	156, 158	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
160	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
161	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
162		elfz 10178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ↔ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
163	142, 160, 161, 162	syl3anc 1252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ↔ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
164	148, 159, 163	mpbir2and 949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
165	164	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
166	116, 165	biimtrid 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
167	116	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))))
168	130	zcnd 9538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℂ)
169	168	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℂ)
170	58	zcnd 9538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
171	170	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
172	7	nncnd 9092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
173	172	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
174	7	nnap0d 9124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
175	174	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑁 # 0)
176	169, 171, 173, 175	divmulap3d 8940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ (𝑦 − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁)))
177	119	zcnd 9538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
178	177	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
179	105	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
180	104	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
181	178, 179, 180	subadd2d 8444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → ((𝑦 − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
182	176, 181	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
183		eqcom 2211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧)
184		eqcom 2211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦)
185	182, 183, 184	3bitr4g 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
186	167, 185	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
187	186	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))))
188	31, 46, 113, 166, 187	en3d 6890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
189		entr 6906	. . . 4 ⊢ (((1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
190	28, 188, 189	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
191	1, 18	fzfigd 10620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin)
192		hashen 10973	. . . 4 ⊢ (((1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin) → ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
193	191, 45, 192	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
194	190, 193	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
195		eluzle 9702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
196	2, 195	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
197		zre 9418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
198		zre 9418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
199		zre 9418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
200		lesub1 8571	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
201	197, 198, 199, 200	syl3an 1294	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
202	13, 4, 5, 201	syl3anc 1252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
203	196, 202	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))
204		lediv1 8984	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
205	56, 87, 62, 204	syl3anc 1252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
206	203, 205	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
207		flqword2 10476	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
208	16, 9, 206, 207	syl3anc 1252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
209		uznn0sub 9722	. . 3 ⊢ ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ₀)
210		hashfz1 10972	. . 3 ⊢ (((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
211	208, 209, 210	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
212	194, 211	eqtr3d 2244	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 DECID wdc 838 = wceq 1375 ∈ wcel 2180 ≠ wne 2380 ∀wral 2488 {crab 2492 class class class wbr 4062 ‘cfv 5294 (class class class)co 5974 ≈ cen 6855 Fincfn 6857 ℂcc 7965 ℝcr 7966 0cc0 7967 1c1 7968 + caddc 7970 · cmul 7972 < clt 8149 ≤ cle 8150 − cmin 8285 # cap 8696 / cdiv 8787 ℕcn 9078 ℕ₀cn0 9337 ℤcz 9414 ℤ_≥cuz 9690 ℚcq 9782 ...cfz 10172 ⌊cfl 10455 ♯chash 10964 ∥ cdvds 12264

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 713 ax-5 1473 ax-7 1474 ax-gen 1475 ax-ie1 1519 ax-ie2 1520 ax-8 1530 ax-10 1531 ax-11 1532 ax-i12 1533 ax-bndl 1535 ax-4 1536 ax-17 1552 ax-i9 1556 ax-ial 1560 ax-i5r 1561 ax-13 2182 ax-14 2183 ax-ext 2191 ax-coll 4178 ax-sep 4181 ax-nul 4189 ax-pow 4237 ax-pr 4272 ax-un 4501 ax-setind 4606 ax-iinf 4657 ax-cnex 8058 ax-resscn 8059 ax-1cn 8060 ax-1re 8061 ax-icn 8062 ax-addcl 8063 ax-addrcl 8064 ax-mulcl 8065 ax-mulrcl 8066 ax-addcom 8067 ax-mulcom 8068 ax-addass 8069 ax-mulass 8070 ax-distr 8071 ax-i2m1 8072 ax-0lt1 8073 ax-1rid 8074 ax-0id 8075 ax-rnegex 8076 ax-precex 8077 ax-cnre 8078 ax-pre-ltirr 8079 ax-pre-ltwlin 8080 ax-pre-lttrn 8081 ax-pre-apti 8082 ax-pre-ltadd 8083 ax-pre-mulgt0 8084 ax-pre-mulext 8085 ax-arch 8086

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 839 df-3or 984 df-3an 985 df-tru 1378 df-fal 1381 df-nf 1487 df-sb 1789 df-eu 2060 df-mo 2061 df-clab 2196 df-cleq 2202 df-clel 2205 df-nfc 2341 df-ne 2381 df-nel 2476 df-ral 2493 df-rex 2494 df-reu 2495 df-rmo 2496 df-rab 2497 df-v 2781 df-sbc 3009 df-csb 3105 df-dif 3179 df-un 3181 df-in 3183 df-ss 3190 df-nul 3472 df-if 3583 df-pw 3631 df-sn 3652 df-pr 3653 df-op 3655 df-uni 3868 df-int 3903 df-iun 3946 df-br 4063 df-opab 4125 df-mpt 4126 df-tr 4162 df-id 4361 df-po 4364 df-iso 4365 df-iord 4434 df-on 4436 df-ilim 4437 df-suc 4439 df-iom 4660 df-xp 4702 df-rel 4703 df-cnv 4704 df-co 4705 df-dm 4706 df-rn 4707 df-res 4708 df-ima 4709 df-iota 5254 df-fun 5296 df-fn 5297 df-f 5298 df-f1 5299 df-fo 5300 df-f1o 5301 df-fv 5302 df-riota 5927 df-ov 5977 df-oprab 5978 df-mpo 5979 df-1st 6256 df-2nd 6257 df-recs 6421 df-frec 6507 df-1o 6532 df-er 6650 df-en 6858 df-dom 6859 df-fin 6860 df-pnf 8151 df-mnf 8152 df-xr 8153 df-ltxr 8154 df-le 8155 df-sub 8287 df-neg 8288 df-reap 8690 df-ap 8697 df-div 8788 df-inn 9079 df-n0 9338 df-z 9415 df-uz 9691 df-q 9783 df-rp 9818 df-fz 10173 df-fl 10457 df-mod 10512 df-ihash 10965 df-dvds 12265

This theorem is referenced by: phiprmpw 12710

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