hashdvds - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem hashdvds 12359

Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hashdvds.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashdvds.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
hashdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)))
hashdvds.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)

**Assertion**
Ref	Expression
hashdvds	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝑁 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashdvds Dummy variables 𝑎 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		hashdvds.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)))
3		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		hashdvds.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6	4, 5	zsubcld 9444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
7		hashdvds.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		znq 9689	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ)
10	9	flqcld 10346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
11		hashdvds.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		peano2zm 9355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
14	13, 5	zsubcld 9444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℤ)
15		znq 9689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ)
16	14, 7, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ)
17	16	flqcld 10346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
18	10, 17	zsubcld 9444	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ)
19		fzen 10109	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
20	1, 18, 17, 19	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
21		ax-1cn 7965	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	17	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
23		addcom 8156	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
24	21, 22, 23	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
25	10	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
26	25, 22	npcand 8334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
27	24, 26	oveq12d 5936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) = (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
28	20, 27	breqtrd 4055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
29	17	peano2zd 9442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
30	29, 10	fzfigd 10502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∈ Fin)
31	30	elexd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∈ V)
32	11, 4	fzfigd 10502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴...𝐵) ∈ Fin)
33		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝑎 ∈ ℤ)
35	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
36	34, 35	zsubcld 9444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)) → (𝑎 − 𝐶) ∈ ℤ)
37		dvdsdc 11941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 − 𝐶) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶))
38	7, 36, 37	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)) → DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶))
39	38	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶))
40		oveq1 5925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 − 𝐶) = (𝑎 − 𝐶))
41	40	breq2d 4041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶)))
42	41	dcbid 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (DECID 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶)))
43	42	cbvralv 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴...𝐵)DECID 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐴...𝐵)DECID 𝑁 ∥ (𝑎 − 𝐶))
44	39, 43	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴...𝐵)DECID 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶))
45	32, 44	ssfirab 6990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin)
46	45	elexd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ V)
47		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
49		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ)
50		zltp1le 9371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
51	17, 49, 50	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
52	48, 51	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧)
53		flqlt 10352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
54	16, 49, 53	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
55	52, 54	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧)
56	14	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
58	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
59	58	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
60	7	nnred 8995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
61	7	nngt0d 9026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
62	60, 61	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
64		ltdivmul2 8897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
65	57, 59, 63, 64	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
66	55, 65	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁))
67	13	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
69	5	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
71	7	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73	58, 72	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℤ)
74	73	zred 9439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ)
75	68, 70, 74	ltsubaddd 8560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
77	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ)
78	73, 77	zaddcld 9443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ)
79		zlem1lt 9373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
80	11, 78, 79	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
81	76, 80	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
82		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
84		flqge 10351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
85	9, 49, 84	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
86	83, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
87	6	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
89		lemuldiv 8900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
90	59, 88, 63, 89	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
91	86, 90	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶))
92	4	zred 9439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
94		leaddsub 8457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
95	74, 70, 93, 94	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)
97	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
98	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
99		elfz 10080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ↔ (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)))
100	78, 97, 98, 99	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ↔ (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)))
101	81, 96, 100	mpbir2and 946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵))
102		dvdsmul2 11957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
103	58, 72, 102	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
104	73	zcnd 9440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
105	5	zcnd 9440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
106	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
107	104, 106	pncand 8331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁))
108	103, 107	breqtrrd 4057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
109		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑥 − 𝐶) = (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
110	109	breq2d 4041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
111	110	elrab 2916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ↔ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
112	101, 108, 111	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
113	112	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
114		oveq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝐶) = (𝑦 − 𝐶))
115	114	breq2d 4041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))
116	115	elrab 2916	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))
117	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
118		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
119	118	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℤ)
120	119	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
121	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
122		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑦)
123	122	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
124		zlem1lt 9373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
125	11, 119, 124	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
126	123, 125	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 − 1) < 𝑦)
127	117, 120, 121, 126	ltsub1dd 8576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶))
128	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
129	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℤ)
130	119, 129	zsubcld 9444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℤ)
131	130	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ)
132	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
133		ltdiv1 8887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
134	128, 131, 132, 133	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
135	127, 134	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
136		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))
137	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ∈ ℤ)
138	7	nnne0d 9027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
139	138	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ≠ 0)
140		dvdsval2 11933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑦 − 𝐶) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
141	137, 139, 130, 140	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
142	136, 141	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ)
143		flqlt 10352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
144	16, 142, 143	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
145	135, 144	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
146		zltp1le 9371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
147	17, 142, 146	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
148	145, 147	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
149	92	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
150		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
151	150	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ≤ 𝐵)
152	120, 149, 121, 151	lesub1dd 8580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))
153	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
154		lediv1 8888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
155	131, 153, 132, 154	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
156	152, 155	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
157		flqge 10351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
158	9, 142, 157	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
159	156, 158	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
160	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
161	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
162		elfz 10080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ↔ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
163	142, 160, 161, 162	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ↔ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
164	148, 159, 163	mpbir2and 946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
165	164	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
166	116, 165	biimtrid 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
167	116	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))))
168	130	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℂ)
169	168	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℂ)
170	58	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
171	170	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
172	7	nncnd 8996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
173	172	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
174	7	nnap0d 9028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
175	174	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑁 # 0)
176	169, 171, 173, 175	divmulap3d 8844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ (𝑦 − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁)))
177	119	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
178	177	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
179	105	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
180	104	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
181	178, 179, 180	subadd2d 8349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → ((𝑦 − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
182	176, 181	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
183		eqcom 2195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧)
184		eqcom 2195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦)
185	182, 183, 184	3bitr4g 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
186	167, 185	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
187	186	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))))
188	31, 46, 113, 166, 187	en3d 6823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
189		entr 6838	. . . 4 ⊢ (((1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
190	28, 188, 189	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
191	1, 18	fzfigd 10502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin)
192		hashen 10855	. . . 4 ⊢ (((1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin) → ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
193	191, 45, 192	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
194	190, 193	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
195		eluzle 9604	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
196	2, 195	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
197		zre 9321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
198		zre 9321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
199		zre 9321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
200		lesub1 8475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
201	197, 198, 199, 200	syl3an 1291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
202	13, 4, 5, 201	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
203	196, 202	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))
204		lediv1 8888	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
205	56, 87, 62, 204	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
206	203, 205	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
207		flqword2 10358	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
208	16, 9, 206, 207	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
209		uznn0sub 9624	. . 3 ⊢ ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ₀)
210		hashfz1 10854	. . 3 ⊢ (((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
211	208, 209, 210	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
212	194, 211	eqtr3d 2228	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 DECID wdc 835 = wceq 1364 ∈ wcel 2164 ≠ wne 2364 ∀wral 2472 {crab 2476 class class class wbr 4029 ‘cfv 5254 (class class class)co 5918 ≈ cen 6792 Fincfn 6794 ℂcc 7870 ℝcr 7871 0cc0 7872 1c1 7873 + caddc 7875 · cmul 7877 < clt 8054 ≤ cle 8055 − cmin 8190 # cap 8600 / cdiv 8691 ℕcn 8982 ℕ₀cn0 9240 ℤcz 9317 ℤ_≥cuz 9592 ℚcq 9684 ...cfz 10074 ⌊cfl 10337 ♯chash 10846 ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-1o 6469 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fl 10339 df-mod 10394 df-ihash 10847 df-dvds 11931

This theorem is referenced by: phiprmpw 12360

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