ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divelunit GIF version

Theorem divelunit 10015
Description: A condition for a ratio to be a member of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
divelunit (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))

Proof of Theorem divelunit
StepHypRef Expression
1 0re 7970 . . . 4 0 โˆˆ โ„
2 1re 7969 . . . 4 1 โˆˆ โ„
31, 2elicc2i 9952 . . 3 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1) โ†” ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
4 df-3an 981 . . 3 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1) โ†” (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
53, 4bitri 184 . 2 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1) โ†” (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
6 ledivmul 8847 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1)))
72, 6mp3an2 1335 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1)))
87adantlr 477 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1)))
9 simpll 527 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 simprl 529 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
11 gt0ap0 8596 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต # 0)
1211adantl 277 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต # 0)
139, 10, 12redivclapd 8805 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
14 divge0 8843 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1513, 14jca 306 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
1615biantrurd 305 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)))
17 recn 7957 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrl 490 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1918mulridd 7987 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
2019breq2d 4027 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
218, 16, 203bitr3d 218 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
225, 21bitrid 192 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  โ„cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   ยท cmul 7829   < clt 8005   โ‰ค cle 8006   # cap 8551   / cdiv 8642  [,]cicc 9904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-icc 9908
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator