Theorem divelunit 10387

Description: A condition for a ratio to be a member of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
divelunit	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem divelunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8320	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 8319	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 10324	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
4		df-3an 1011	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) ↔ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
5	3, 4	bitri 184	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
6		ledivmul 9201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
7	2, 6	mp3an2 1366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
8	7	adantlr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
9		simpll 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		simprl 535	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		gt0ap0 8948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 # 0)
13	9, 10, 12	redivclapd 9159	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
14		divge0 9197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
15	13, 14	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
16	15	biantrurd 305	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
17		recn 8306	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 494	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	mulridd 8337	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
20	19	breq2d 4140	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
21	8, 16, 20	3bitr3d 218	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
22	5, 21	bitrid 192	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   # cap 8903   / cdiv 8996  [,]cicc 10276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-icc 10280

This theorem is referenced by: (None)