Theorem lincmb01cmp 10069

Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lincmb01cmp	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lincmb01cmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2		0re 8019	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ∈ ℝ)
4		1re 8018	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
6	2, 4	elicc2i 10005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
7	6	simp1bi 1014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9		difrp 9758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))
10	9	biimp3a 1356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)
12		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (0 · (𝐵 − 𝐴))
13		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (1 · (𝐵 − 𝐴))
14	12, 13	iccdil 10064	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
15	3, 5, 8, 11, 14	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
16	1, 15	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))))
17		simpl2 1003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		simpl1 1002	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 8400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	19	recnd 8048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	mul02d 8411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
22	20	mulid2d 8038	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
23	21, 22	oveq12d 5936	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))) = (0[,](𝐵 − 𝐴)))
24	16, 23	eleqtrd 2272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)))
25	8, 19	remulcld 8050	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
26		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐴) = (0 + 𝐴)
27		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)
28	26, 27	iccshftr 10060	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))))
29	3, 19, 25, 18, 28	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))))
30	24, 29	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)))
31	8	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
32	17	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 8040	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
34	18	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
35	31, 34	mulcld 8040	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
36	33, 35, 34	subadd23d 8352	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
37	31, 32, 34	subdid 8433	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
38	37	oveq1d 5933	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴))
39		resubcl 8283	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
40	4, 8, 39	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
41	40, 18	remulcld 8050	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℂ)
43	42, 33	addcomd 8170	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
44		1cnd 8035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
45	44, 31, 34	subdird 8434	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
46	34	mulid2d 8038	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
47	46	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
48	45, 47	eqtrd 2226	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
49	48	oveq2d 5934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
50	43, 49	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
51	36, 38, 50	3eqtr4d 2236	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
52	34	addlidd 8169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
53	32, 34	npcand 8334	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
54	52, 53	oveq12d 5936	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)) = (𝐴[,]𝐵))
55	30, 51, 54	3eltr3d 2276	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  ℝ⁺crp 9719  [,]cicc 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-rp 9720  df-icc 9961

This theorem is referenced by:  iccf1o  10070