ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lincmb01cmp GIF version

Theorem lincmb01cmp 9481
Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lincmb01cmp (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lincmb01cmp
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2 0re 7549 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
32a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ∈ ℝ)
4 1re 7548 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
54a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
62, 4elicc2i 9418 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
76simp1bi 959 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
87adantl 272 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9 difrp 9231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
109biimp3a 1282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
1110adantr 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
12 eqid 2089 . . . . . . 7 (0 · (𝐵𝐴)) = (0 · (𝐵𝐴))
13 eqid 2089 . . . . . . 7 (1 · (𝐵𝐴)) = (1 · (𝐵𝐴))
1412, 13iccdil 9476 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴)))))
153, 5, 8, 11, 14syl22anc 1176 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴)))))
161, 15mpbid 146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴))))
17 simpl2 948 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18 simpl1 947 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1917, 18resubcld 7920 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2019recnd 7577 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
2120mul02d 7931 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐵𝐴)) = 0)
2220mulid2d 7567 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
2321, 22oveq12d 5684 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴))) = (0[,](𝐵𝐴)))
2416, 23eleqtrd 2167 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ (0[,](𝐵𝐴)))
258, 19remulcld 7579 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
26 eqid 2089 . . . . 5 (0 + 𝐴) = (0 + 𝐴)
27 eqid 2089 . . . . 5 ((𝐵𝐴) + 𝐴) = ((𝐵𝐴) + 𝐴)
2826, 27iccshftr 9472 . . . 4 (((0 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ (0[,](𝐵𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵𝐴) + 𝐴))))
293, 19, 25, 18, 28syl22anc 1176 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ (0[,](𝐵𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵𝐴) + 𝐴))))
3024, 29mpbid 146 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵𝐴) + 𝐴)))
318recnd 7577 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
3217recnd 7577 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3331, 32mulcld 7569 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
3418recnd 7577 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3531, 34mulcld 7569 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
3633, 35, 34subadd23d 7876 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
3731, 32, 34subdid 7953 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
3837oveq1d 5681 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴))
39 resubcl 7807 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
404, 8, 39sylancr 406 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
4140, 18remulcld 7579 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℝ)
4241recnd 7577 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℂ)
4342, 33addcomd 7694 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
44 1cnd 7565 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
4544, 31, 34subdird 7954 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
4634mulid2d 7567 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4746oveq1d 5681 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
4845, 47eqtrd 2121 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
4948oveq2d 5682 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
5043, 49eqtrd 2121 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
5136, 38, 503eqtr4d 2131 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
5234addid2d 7693 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
5332, 34npcand 7858 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
5452, 53oveq12d 5684 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 + 𝐴)[,]((𝐵𝐴) + 𝐴)) = (𝐴[,]𝐵))
5530, 51, 543eltr3d 2171 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 925  wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  cr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416   < clt 7583  cle 7584  cmin 7714  +crp 9195  [,]cicc 9370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-rp 9196  df-icc 9374
This theorem is referenced by:  iccf1o  9482
  Copyright terms: Public domain W3C validator