Theorem cos11 15029

Description: Cosine is one-to-one over the closed interval from 0 to π. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 6-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos11	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (cos‘𝐴) = (cos‘𝐵)))

Proof of Theorem cos11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5555	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (cos‘𝐴) = (cos‘𝐵))
2		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
3		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,]π))
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
5	2, 3, 4	cosordlem 15025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))
6	5	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 < 𝐵 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴)))
7		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]π))
8		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
9		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
10	7, 8, 9	cosordlem 15025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))
11	10	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐵 < 𝐴 → (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵)))
12	6, 11	orim12d 787	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))))
13		0re 8021	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		pire 14962	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
15	13, 14	elicc2i 10008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
16	15	simp1bi 1014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	13, 14	elicc2i 10008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π))
19	18	simp1bi 1014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]π) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		reaplt 8609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
22	17, 20, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
23	17	recoscld 11870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
24	20	recoscld 11870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
25		reaplt 8609	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) # (cos‘𝐵) ↔ ((cos‘𝐴) < (cos‘𝐵) ∨ (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))))
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐴) # (cos‘𝐵) ↔ ((cos‘𝐴) < (cos‘𝐵) ∨ (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))))
27		orcom 729	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) < (cos‘𝐵) ∨ (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴)) ↔ ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵)))
28	26, 27	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐴) # (cos‘𝐵) ↔ ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))))
29	12, 22, 28	3imtr4d 203	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 # 𝐵 → (cos‘𝐴) # (cos‘𝐵)))
30	29	con3d 632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (¬ (cos‘𝐴) # (cos‘𝐵) → ¬ 𝐴 # 𝐵))
31	23	recnd 8050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
32	24	recnd 8050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
33		apti 8643	. . . 4 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ↔ ¬ (cos‘𝐴) # (cos‘𝐵)))
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ↔ ¬ (cos‘𝐴) # (cos‘𝐵)))
35	17	recnd 8050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	20	recnd 8050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37		apti 8643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
38	35, 36, 37	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
39	30, 34, 38	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
40	1, 39	impbid2 143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (cos‘𝐴) = (cos‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874   < clt 8056   ≤ cle 8057   # cap 8602  [,]cicc 9960  cosccos 11791  πcpi 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ioc 9962  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-sin 11796  df-cos 11797  df-pi 11799  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836

This theorem is referenced by:  ioocosf1o  15030