Theorem cos11 15089

Description: Cosine is one-to-one over the closed interval from 0 to π. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 6-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos11	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (cos‘𝐴) = (cos‘𝐵)))

Proof of Theorem cos11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5558	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (cos‘𝐴) = (cos‘𝐵))
2		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
3		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,]π))
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
5	2, 3, 4	cosordlem 15085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))
6	5	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 < 𝐵 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴)))
7		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]π))
8		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
9		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
10	7, 8, 9	cosordlem 15085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))
11	10	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐵 < 𝐴 → (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵)))
12	6, 11	orim12d 787	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))))
13		0re 8026	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		pire 15022	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
15	13, 14	elicc2i 10014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
16	15	simp1bi 1014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	13, 14	elicc2i 10014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π))
19	18	simp1bi 1014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]π) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		reaplt 8615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
22	17, 20, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
23	17	recoscld 11889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
24	20	recoscld 11889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
25		reaplt 8615	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) # (cos‘𝐵) ↔ ((cos‘𝐴) < (cos‘𝐵) ∨ (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))))
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐴) # (cos‘𝐵) ↔ ((cos‘𝐴) < (cos‘𝐵) ∨ (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))))
27		orcom 729	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) < (cos‘𝐵) ∨ (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴)) ↔ ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵)))
28	26, 27	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐴) # (cos‘𝐵) ↔ ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ∨ (cos‘𝐴) < (cos‘𝐵))))
29	12, 22, 28	3imtr4d 203	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 # 𝐵 → (cos‘𝐴) # (cos‘𝐵)))
30	29	con3d 632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (¬ (cos‘𝐴) # (cos‘𝐵) → ¬ 𝐴 # 𝐵))
31	23	recnd 8055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
32	24	recnd 8055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
33		apti 8649	. . . 4 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ↔ ¬ (cos‘𝐴) # (cos‘𝐵)))
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ↔ ¬ (cos‘𝐴) # (cos‘𝐵)))
35	17	recnd 8055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	20	recnd 8055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37		apti 8649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
38	35, 36, 37	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
39	30, 34, 38	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
40	1, 39	impbid2 143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]π)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (cos‘𝐴) = (cos‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879   < clt 8061   ≤ cle 8062   # cap 8608  [,]cicc 9966  cosccos 11810  πcpi 11812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-pre-suploc 8000  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ioo 9967  df-ioc 9968  df-ico 9969  df-icc 9970  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-shft 10980  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-sin 11815  df-cos 11816  df-pi 11818  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by:  ioocosf1o  15090