Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coseq00topi GIF version

Theorem coseq00topi 12926
 Description: Location of the zeroes of cosine in (0[,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
coseq00topi (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq00topi
StepHypRef Expression
1 0re 7773 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 pire 12877 . . . . 5 π ∈ ℝ
31, 2elicc2i 9729 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
43simp1bi 996 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 neghalfpire 12884 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ
65a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ∈ ℝ)
71a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ∈ ℝ)
8 pirp 12880 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ+
9 rphalfcl 9476 . . . . . . . 8 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ+
11 rpgt0 9460 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 0 < (π / 2)
13 halfpire 12883 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
14 lt0neg2 8238 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1612, 15mpbi 144 . . . . 5 -(π / 2) < 0
1716a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) < 0)
183simp2bi 997 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝐴)
196, 7, 4, 17, 18ltletrd 8192 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) < 𝐴)
202a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → π ∈ ℝ)
21 3re 8801 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
2221, 13remulcli 7787 . . . . 5 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
2322a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ)
243simp3bi 998 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ≤ π)
25 2div2e1 8859 . . . . . . . 8 (2 / 2) = 1
26 2lt3 8897 . . . . . . . . 9 2 < 3
27 2re 8797 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
28 2pos 8818 . . . . . . . . . 10 0 < 2
2927, 21, 27, 28ltdiv1ii 8694 . . . . . . . . 9 (2 < 3 ↔ (2 / 2) < (3 / 2))
3026, 29mpbi 144 . . . . . . . 8 (2 / 2) < (3 / 2)
3125, 30eqbrtrri 3951 . . . . . . 7 1 < (3 / 2)
3221rehalfcli 8975 . . . . . . . 8 (3 / 2) ∈ ℝ
33 pipos 12879 . . . . . . . 8 0 < π
34 ltmulgt12 8630 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < (3 / 2) ↔ π < ((3 / 2) · π)))
352, 32, 33, 34mp3an 1315 . . . . . . 7 (1 < (3 / 2) ↔ π < ((3 / 2) · π))
3631, 35mpbi 144 . . . . . 6 π < ((3 / 2) · π)
3721recni 7785 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
38 2cn 8798 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
39 2ap0 8820 . . . . . . . 8 2 # 0
4038, 39pm3.2i 270 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
412recni 7785 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
42 div32ap 8459 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ π ∈ ℂ) → ((3 / 2) · π) = (3 · (π / 2)))
4337, 40, 41, 42mp3an 1315 . . . . . 6 ((3 / 2) · π) = (3 · (π / 2))
4436, 43breqtri 3953 . . . . 5 π < (3 · (π / 2))
4544a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → π < (3 · (π / 2)))
464, 20, 23, 24, 45lelttrd 7894 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
47 neghalfpirx 12885 . . . 4 -(π / 2) ∈ ℝ*
4822rexri 7830 . . . 4 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
49 elioo2 9711 . . . 4 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
5047, 48, 49mp2an 422 . . 3 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))))
514, 19, 46, 50syl3anbrc 1165 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
52 coseq0q4123 12925 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
5351, 52syl 14 1 (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   · cmul 7632  ℝ*cxr 7806   < clt 7807   ≤ cle 7808  -cneg 7941   # cap 8350   / cdiv 8439  2c2 8778  3c3 8779  ℝ+crp 9448  (,)cioo 9678  [,]cicc 9681  cosccos 11358  πcpi 11360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805 This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  12927
 Copyright terms: Public domain W3C validator