ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coseq00topi GIF version

Theorem coseq00topi 13406
Description: Location of the zeroes of cosine in (0[,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
coseq00topi (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq00topi
StepHypRef Expression
1 0re 7899 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 pire 13357 . . . . 5 π ∈ ℝ
31, 2elicc2i 9875 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
43simp1bi 1002 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 neghalfpire 13364 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ
65a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ∈ ℝ)
71a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ∈ ℝ)
8 pirp 13360 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ+
9 rphalfcl 9617 . . . . . . . 8 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ+
11 rpgt0 9601 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 0 < (π / 2)
13 halfpire 13363 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
14 lt0neg2 8367 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1612, 15mpbi 144 . . . . 5 -(π / 2) < 0
1716a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) < 0)
183simp2bi 1003 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝐴)
196, 7, 4, 17, 18ltletrd 8321 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) < 𝐴)
202a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → π ∈ ℝ)
21 3re 8931 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
2221, 13remulcli 7913 . . . . 5 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
2322a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ)
243simp3bi 1004 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ≤ π)
25 2div2e1 8989 . . . . . . . 8 (2 / 2) = 1
26 2lt3 9027 . . . . . . . . 9 2 < 3
27 2re 8927 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
28 2pos 8948 . . . . . . . . . 10 0 < 2
2927, 21, 27, 28ltdiv1ii 8824 . . . . . . . . 9 (2 < 3 ↔ (2 / 2) < (3 / 2))
3026, 29mpbi 144 . . . . . . . 8 (2 / 2) < (3 / 2)
3125, 30eqbrtrri 4005 . . . . . . 7 1 < (3 / 2)
3221rehalfcli 9105 . . . . . . . 8 (3 / 2) ∈ ℝ
33 pipos 13359 . . . . . . . 8 0 < π
34 ltmulgt12 8760 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < (3 / 2) ↔ π < ((3 / 2) · π)))
352, 32, 33, 34mp3an 1327 . . . . . . 7 (1 < (3 / 2) ↔ π < ((3 / 2) · π))
3631, 35mpbi 144 . . . . . 6 π < ((3 / 2) · π)
3721recni 7911 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
38 2cn 8928 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
39 2ap0 8950 . . . . . . . 8 2 # 0
4038, 39pm3.2i 270 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
412recni 7911 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
42 div32ap 8588 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ π ∈ ℂ) → ((3 / 2) · π) = (3 · (π / 2)))
4337, 40, 41, 42mp3an 1327 . . . . . 6 ((3 / 2) · π) = (3 · (π / 2))
4436, 43breqtri 4007 . . . . 5 π < (3 · (π / 2))
4544a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → π < (3 · (π / 2)))
464, 20, 23, 24, 45lelttrd 8023 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
47 neghalfpirx 13365 . . . 4 -(π / 2) ∈ ℝ*
4822rexri 7956 . . . 4 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
49 elioo2 9857 . . . 4 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
5047, 48, 49mp2an 423 . . 3 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))))
514, 19, 46, 50syl3anbrc 1171 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
52 coseq0q4123 13405 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
5351, 52syl 14 1 (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 968   = wceq 1343  wcel 2136   class class class wbr 3982  cfv 5188  (class class class)co 5842  cc 7751  cr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   · cmul 7758  *cxr 7932   < clt 7933  cle 7934  -cneg 8070   # cap 8479   / cdiv 8568  2c2 8908  3c3 8909  +crp 9589  (,)cioo 9824  [,]cicc 9827  cosccos 11586  πcpi 11588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874  ax-addf 7875  ax-mulf 7876
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-ioc 9829  df-ico 9830  df-icc 9831  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-sin 11591  df-cos 11592  df-pi 11594  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12637  df-xmet 12638  df-met 12639  df-bl 12640  df-mopn 12641  df-top 12646  df-topon 12659  df-bases 12691  df-ntr 12746  df-cn 12838  df-cnp 12839  df-tx 12903  df-cncf 13208  df-limced 13275  df-dvap 13276
This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  13407
  Copyright terms: Public domain W3C validator