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Theorem diffisn 6867
Description: Subtracting a singleton from a finite set produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffisn ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffisn
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6735 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 119 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantr 274 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 elex2 2746 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
54adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
6 fin0 6859 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
76adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
85, 7mpbird 166 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
98adantr 274 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
109neneqd 2361 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ 𝐴 = ∅)
11 simplrr 531 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴𝑛)
12 en0 6769 . . . . . . . . 9 (𝑛 ≈ ∅ ↔ 𝑛 = ∅)
1312biimpri 132 . . . . . . . 8 (𝑛 = ∅ → 𝑛 ≈ ∅)
1413adantl 275 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 ≈ ∅)
15 entr 6758 . . . . . . 7 ((𝐴𝑛𝑛 ≈ ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
1611, 14, 15syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
17 en0 6769 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
1816, 17sylib 121 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
1910, 18mtand 660 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ 𝑛 = ∅)
20 nn0suc 4586 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
2120orcomd 724 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚𝑛 = ∅))
2221ad2antrl 487 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚𝑛 = ∅))
2319, 22ecased 1344 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
24 nnfi 6846 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
2524ad2antrl 487 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
26 simprl 526 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
27 simplrr 531 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴𝑛)
28 breq2 3991 . . . . . . 7 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴𝑛𝐴 ≈ suc 𝑚))
2928ad2antll 488 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴𝑛𝐴 ≈ suc 𝑚))
3027, 29mpbid 146 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ suc 𝑚)
31 simpllr 529 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐵𝐴)
32 dif1en 6853 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑚𝐵𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
3326, 30, 31, 32syl3anc 1233 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
34 enfii 6848 . . . 4 ((𝑚 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
3525, 33, 34syl2anc 409 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
3623, 35rexlimddv 2592 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
373, 36rexlimddv 2592 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703   = wceq 1348  wex 1485  wcel 2141  wne 2340  wrex 2449  cdif 3118  c0 3414  {csn 3581   class class class wbr 3987  suc csuc 4348  ωcom 4572  cen 6712  Fincfn 6714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-er 6509  df-en 6715  df-fin 6717
This theorem is referenced by:  diffifi  6868  zfz1isolemsplit  10760  zfz1isolem1  10762  fsumdifsnconst  11405  fprodeq0g  11588
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