Theorem diffisn 6887

Description: Subtracting a singleton from a finite set produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffisn	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffisn

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6755	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		elex2 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6		fin0 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
8	5, 7	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
10	9	neneqd 2368	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 = ∅)
11		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ 𝑛)
12		en0 6789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ≈ ∅ ↔ 𝑛 = ∅)
13	12	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → 𝑛 ≈ ∅)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 ≈ ∅)
15		entr 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≈ ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
17		en0 6789	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
18	16, 17	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
19	10, 18	mtand 665	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝑛 = ∅)
20		nn0suc 4600	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
21	20	orcomd 729	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 ∨ 𝑛 = ∅))
22	21	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 ∨ 𝑛 = ∅))
23	19, 22	ecased 1349	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
24		nnfi 6866	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
25	24	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
26		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
27		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
28		breq2 4004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≈ 𝑛 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑚))
29	28	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ≈ 𝑛 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑚))
30	27, 29	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ suc 𝑚)
31		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
32		dif1en 6873	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑚 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
33	26, 30, 31, 32	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
34		enfii 6868	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
36	23, 35	rexlimddv 2599	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
37	3, 36	rexlimddv 2599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∃wrex 2456   ∖ cdif 3126  ∅c0 3422  {csn 3591   class class class wbr 4000  suc csuc 4362  ωcom 4586   ≈ cen 6732  Fincfn 6734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737

This theorem is referenced by:  diffifi  6888  zfz1isolemsplit  10802  zfz1isolem1  10804  fsumdifsnconst  11447  fprodeq0g  11630