Theorem diffisn 6990

Description: Subtracting a singleton from a finite set produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffisn	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffisn

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6852	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		elex2 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6		fin0 6982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
8	5, 7	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
10	9	neneqd 2397	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 = ∅)
11		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ 𝑛)
12		en0 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ≈ ∅ ↔ 𝑛 = ∅)
13	12	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → 𝑛 ≈ ∅)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 ≈ ∅)
15		entr 6876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≈ ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
17		en0 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
18	16, 17	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
19	10, 18	mtand 667	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝑛 = ∅)
20		nn0suc 4652	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
21	20	orcomd 731	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 ∨ 𝑛 = ∅))
22	21	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 ∨ 𝑛 = ∅))
23	19, 22	ecased 1362	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
24		nnfi 6969	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
25	24	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
26		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
27		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
28		breq2 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≈ 𝑛 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑚))
29	28	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ≈ 𝑛 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑚))
30	27, 29	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ suc 𝑚)
31		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
32		dif1en 6976	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑚 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
33	26, 30, 31, 32	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
34		enfii 6971	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
36	23, 35	rexlimddv 2628	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
37	3, 36	rexlimddv 2628	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ∃wrex 2485   ∖ cdif 3163  ∅c0 3460  {csn 3633   class class class wbr 4044  suc csuc 4412  ωcom 4638   ≈ cen 6825  Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  diffifi  6991  zfz1isolemsplit  10983  zfz1isolem1  10985  fsumdifsnconst  11766  fprodeq0g  11949