ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diffisn GIF version

Theorem diffisn 6537
Description: Subtracting a singleton from a finite set produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffisn ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffisn
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6406 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 118 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 elex2 2626 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
54adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
6 fin0 6529 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
76adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
85, 7mpbird 165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
98adantr 270 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
109neneqd 2270 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ 𝐴 = ∅)
11 simplrr 503 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴𝑛)
12 en0 6440 . . . . . . . . 9 (𝑛 ≈ ∅ ↔ 𝑛 = ∅)
1312biimpri 131 . . . . . . . 8 (𝑛 = ∅ → 𝑛 ≈ ∅)
1413adantl 271 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 ≈ ∅)
15 entr 6429 . . . . . . 7 ((𝐴𝑛𝑛 ≈ ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
1611, 14, 15syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
17 en0 6440 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
1816, 17sylib 120 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
1910, 18mtand 624 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ 𝑛 = ∅)
20 nn0suc 4381 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
2120orcomd 681 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚𝑛 = ∅))
2221ad2antrl 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚𝑛 = ∅))
2319, 22ecased 1281 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
24 nnfi 6516 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
2524ad2antrl 474 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
26 simprl 498 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
27 simplrr 503 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴𝑛)
28 breq2 3815 . . . . . . 7 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴𝑛𝐴 ≈ suc 𝑚))
2928ad2antll 475 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴𝑛𝐴 ≈ suc 𝑚))
3027, 29mpbid 145 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ suc 𝑚)
31 simpllr 501 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐵𝐴)
32 dif1en 6523 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑚𝐵𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
3326, 30, 31, 32syl3anc 1170 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
34 enfii 6518 . . . 4 ((𝑚 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
3525, 33, 34syl2anc 403 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
3623, 35rexlimddv 2487 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
373, 36rexlimddv 2487 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  wne 2249  wrex 2354  cdif 2981  c0 3269  {csn 3422   class class class wbr 3811  suc csuc 4155  ωcom 4367  cen 6383  Fincfn 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-er 6220  df-en 6386  df-fin 6388
This theorem is referenced by:  diffifi  6538
  Copyright terms: Public domain W3C validator