Theorem diffisn 7187

Description: Subtracting a singleton from a finite set produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffisn	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffisn

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7037	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		elex2 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6		fin0 7179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
8	5, 7	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
10	9	neneqd 2441	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 = ∅)
11		simplrr 542	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ 𝑛)
12		en0 7072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ≈ ∅ ↔ 𝑛 = ∅)
13	12	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → 𝑛 ≈ ∅)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 ≈ ∅)
15		entr 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≈ ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
16	11, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
17		en0 7072	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
18	16, 17	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
19	10, 18	mtand 675	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝑛 = ∅)
20		nn0suc 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
21	20	orcomd 741	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 ∨ 𝑛 = ∅))
22	21	ad2antrl 494	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 ∨ 𝑛 = ∅))
23	19, 22	ecased 1390	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
24		nnfi 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
25	24	ad2antrl 494	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
26		simprl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
27		simplrr 542	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
28		breq2 4129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≈ 𝑛 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑚))
29	28	ad2antll 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ≈ 𝑛 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑚))
30	27, 29	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ suc 𝑚)
31		simpllr 540	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
32		dif1en 7173	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑚 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
33	26, 30, 31, 32	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
34		enfii 7166	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
36	23, 35	rexlimddv 2673	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
37	3, 36	rexlimddv 2673	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529   ∖ cdif 3217  ∅c0 3520  {csn 3705   class class class wbr 4125  suc csuc 4505  ωcom 4732   ≈ cen 7010  Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  diffifi  7188  hashfibclem  11260  zfz1isolemsplit  11268  zfz1isolem1  11270  fsumdifsnconst  12200  fprodeq0g  12383