Theorem fidcen 7197

Description: Equinumerosity of finite sets is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fidcen	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → DECID 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem fidcen

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7041	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4		isfi 7041	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑦)
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑦)
6	5	ad2antlr 493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑦)
7		simplrl 541	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ω)
8		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ω)
9		nndceq 6766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → DECID 𝑥 = 𝑦)
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
11		exmiddc 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑦 ∨ ¬ 𝑥 = 𝑦))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ ¬ 𝑥 = 𝑦))
13		simplrr 542	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → 𝐴 ≈ 𝑥)
14		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐵 ≈ 𝑦)
15		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
16	14, 15	breqtrrd 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐵 ≈ 𝑥)
17	16	ensymd 7064	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ≈ 𝐵)
18		entr 7065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
19	13, 17, 18	syl2an2r 603	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝐵)
20	19	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
21	13	ensymd 7064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → 𝑥 ≈ 𝐴)
22		entr 7065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≈ 𝐵)
23	21, 22	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≈ 𝐵)
24		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝑦)
25		entr 7065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≈ 𝑦)
26	23, 24, 25	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≈ 𝑦)
27		simplrl 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ω)
28		nneneq 7152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
29	7, 27, 28	syl2an2r 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑥 = 𝑦)
31	30	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
32	31	con3d 640	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
33	20, 32	orim12d 798	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
34	12, 33	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
35		df-dc 847	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
36	34, 35	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → DECID 𝐴 ≈ 𝐵)
37	6, 36	rexlimddv 2673	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) → DECID 𝐴 ≈ 𝐵)
38	3, 37	rexlimddv 2673	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → DECID 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  ωcom 4735   ≈ cen 7014  Fincfn 7016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019

This theorem is referenced by:  eqsndc  7204