Theorem fidcen 16379

Description: Equinumerosity of finite sets is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fidcen	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → DECID 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem fidcen

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6920	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4		isfi 6920	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑦)
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑦)
6	5	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑦)
7		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ω)
8		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ω)
9		nndceq 6653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → DECID 𝑥 = 𝑦)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
11		exmiddc 841	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑦 ∨ ¬ 𝑥 = 𝑦))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ ¬ 𝑥 = 𝑦))
13		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → 𝐴 ≈ 𝑥)
14		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐵 ≈ 𝑦)
15		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
16	14, 15	breqtrrd 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐵 ≈ 𝑥)
17	16	ensymd 6943	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ≈ 𝐵)
18		entr 6944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
19	13, 17, 18	syl2an2r 597	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝐵)
20	19	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
21	13	ensymd 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → 𝑥 ≈ 𝐴)
22		entr 6944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≈ 𝐵)
23	21, 22	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≈ 𝐵)
24		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝑦)
25		entr 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≈ 𝑦)
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑥 ≈ 𝑦)
27		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ω)
28		nneneq 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
29	7, 27, 28	syl2an2r 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝑥 = 𝑦)
31	30	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
32	31	con3d 634	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
33	20, 32	orim12d 791	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
34	12, 33	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
35		df-dc 840	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
36	34, 35	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑦)) → DECID 𝐴 ≈ 𝐵)
37	6, 36	rexlimddv 2653	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥)) → DECID 𝐴 ≈ 𝐵)
38	3, 37	rexlimddv 2653	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → DECID 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  ωcom 4682   ≈ cen 6893  Fincfn 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898

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