Theorem efcvgfsum 11849

Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcvgfsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
efcvgfsum	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
2		nn0z 9363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4	1, 3	fzfigd 10540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0...𝑛) ∈ Fin)
5		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		elfznn0 10206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		eftcl 11836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10	4, 9	fsumcl 11582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℕ0 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
12		efcvgfsum.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13	12	fnmpt 5387	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ → 𝐹 Fn ℕ0)
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn ℕ0)
15		nn0uz 9653	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16		0zd 9355	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
17		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
18	17	eftvalcn 11839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
19	18, 8	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
20	15, 16, 19	serf 10592	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
21	20	ffnd 5411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23		0zd 9355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
24	22	nn0zd 9463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
25	23, 24	fzfigd 10540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0...𝑗) ∈ Fin)
26		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		elfznn0 10206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	26, 28, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
30	25, 29	fsumcl 11582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
31		oveq2 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (0...𝑛) = (0...𝑗))
32	31	sumeq1d 11548	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
33	32, 12	fvmptg 5640	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
34	22, 30, 33	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36		elnn0uz 9656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
37	36	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	35, 38, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
40	22, 15	eleqtrdi 2289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
41	35, 38, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	fsum3ser 11579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
43	34, 42	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
44	14, 21, 43	eqfnfvd 5665	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
45	17	efcvg 11848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
46	44, 45	eqbrtrd 4056	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  0cc0 7896   + caddc 7899   / cdiv 8716  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  seqcseq 10556  ↑cexp 10647  !cfa 10834   ⇝ cli 11460  Σcsu 11535  expce 11824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830

This theorem is referenced by: (None)