ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcvgfsum GIF version

Theorem efcvgfsum 11675
Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efcvgfsum.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
efcvgfsum (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ⇝ (expβ€˜π΄))
Distinct variable group:   π‘˜,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0zd 9265 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
2 nn0z 9273 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
32adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
41, 3fzfigd 10431 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (0...𝑛) ∈ Fin)
5 simpll 527 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6 elfznn0 10114 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
76adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8 eftcl 11662 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
95, 7, 8syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
104, 9fsumcl 11408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
1110ralrimiva 2550 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
12 efcvgfsum.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
1312fnmpt 5343 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ β„•0 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚ β†’ 𝐹 Fn β„•0)
1411, 13syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 Fn β„•0)
15 nn0uz 9562 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
16 0zd 9265 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„€)
17 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
1817eftvalcn 11665 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
1918, 8eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2015, 16, 19serf 10474 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))):β„•0βŸΆβ„‚)
2120ffnd 5367 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) Fn β„•0)
22 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
23 0zd 9265 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
2422nn0zd 9373 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2523, 24fzfigd 10431 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (0...𝑗) ∈ Fin)
26 simpll 527 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑗)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
27 elfznn0 10114 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2827adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2926, 28, 8syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑗)) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3025, 29fsumcl 11408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑗)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
31 oveq2 5883 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 β†’ (0...𝑛) = (0...𝑗))
3231sumeq1d 11374 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑗)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
3332, 12fvmptg 5593 . . . . 5 ((𝑗 ∈ β„•0 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑗)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑗)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
3422, 30, 33syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑗)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
35 simpll 527 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
36 elnn0uz 9565 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3736biimpri 133 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3837adantl 277 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3935, 38, 18syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
4022, 15eleqtrdi 2270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4135, 38, 8syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
4239, 40, 41fsum3ser 11405 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑗)((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›))))β€˜π‘—))
4334, 42eqtrd 2210 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›))))β€˜π‘—))
4414, 21, 43eqfnfvd 5617 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))))
4517efcvg 11674 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ⇝ (expβ€˜π΄))
4644, 45eqbrtrd 4026 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ⇝ (expβ€˜π΄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065   Fn wfn 5212  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„‚cc 7809  0cc0 7811   + caddc 7814   / cdiv 8629  β„•0cn0 9176  β„€cz 9253  β„€β‰₯cuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445  β†‘cexp 10519  !cfa 10705   ⇝ cli 11286  Ξ£csu 11361  expce 11650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator