Theorem efcvgfsum 11659

Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcvgfsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
efcvgfsum	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
2		nn0z 9262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4	1, 3	fzfigd 10417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0...𝑛) ∈ Fin)
5		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		elfznn0 10100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		eftcl 11646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10	4, 9	fsumcl 11392	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℕ0 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
12		efcvgfsum.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13	12	fnmpt 5338	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ → 𝐹 Fn ℕ0)
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn ℕ0)
15		nn0uz 9551	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16		0zd 9254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
17		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
18	17	eftvalcn 11649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
19	18, 8	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
20	15, 16, 19	serf 10460	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
21	20	ffnd 5362	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23		0zd 9254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
24	22	nn0zd 9362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
25	23, 24	fzfigd 10417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0...𝑗) ∈ Fin)
26		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		elfznn0 10100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	26, 28, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
30	25, 29	fsumcl 11392	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
31		oveq2 5877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (0...𝑛) = (0...𝑗))
32	31	sumeq1d 11358	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
33	32, 12	fvmptg 5588	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
34	22, 30, 33	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36		elnn0uz 9554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
37	36	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	35, 38, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
40	22, 15	eleqtrdi 2270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
41	35, 38, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	fsum3ser 11389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
43	34, 42	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
44	14, 21, 43	eqfnfvd 5612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
45	17	efcvg 11658	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
46	44, 45	eqbrtrd 4022	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4000   ↦ cmpt 4061   Fn wfn 5207  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  0cc0 7802   + caddc 7805   / cdiv 8618  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431  ↑cexp 10505  !cfa 10689   ⇝ cli 11270  Σcsu 11345  expce 11634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640

This theorem is referenced by: (None)