Theorem efcvgfsum 12193

Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcvgfsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
efcvgfsum	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
2		nn0z 9477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4	1, 3	fzfigd 10665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0...𝑛) ∈ Fin)
5		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		elfznn0 10322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		eftcl 12180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10	4, 9	fsumcl 11926	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℕ0 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
12		efcvgfsum.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13	12	fnmpt 5450	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ → 𝐹 Fn ℕ0)
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn ℕ0)
15		nn0uz 9769	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16		0zd 9469	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
17		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
18	17	eftvalcn 12183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
19	18, 8	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
20	15, 16, 19	serf 10717	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
21	20	ffnd 5474	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23		0zd 9469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
24	22	nn0zd 9578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
25	23, 24	fzfigd 10665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0...𝑗) ∈ Fin)
26		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		elfznn0 10322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	26, 28, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
30	25, 29	fsumcl 11926	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
31		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (0...𝑛) = (0...𝑗))
32	31	sumeq1d 11892	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
33	32, 12	fvmptg 5712	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
34	22, 30, 33	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36		elnn0uz 9772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
37	36	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	35, 38, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
40	22, 15	eleqtrdi 2322	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
41	35, 38, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	fsum3ser 11923	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
43	34, 42	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
44	14, 21, 43	eqfnfvd 5737	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
45	17	efcvg 12192	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
46	44, 45	eqbrtrd 4105	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010   + caddc 8013   / cdiv 8830  ℕ₀cn0 9380  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  ...cfz 10216  seqcseq 10681  ↑cexp 10772  !cfa 10959   ⇝ cli 11804  Σcsu 11879  expce 12168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-ico 10102  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880  df-ef 12174

This theorem is referenced by: (None)