Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcvgfsum GIF version

Theorem efcvgfsum 11380
 Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efcvgfsum.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
Assertion
Ref Expression
efcvgfsum (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0zd 9073 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
2 nn0z 9081 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
32adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
41, 3fzfigd 10211 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0...𝑛) ∈ Fin)
5 simpll 518 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 elfznn0 9901 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76adantl 275 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 eftcl 11367 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
95, 7, 8syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
104, 9fsumcl 11176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1110ralrimiva 2505 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑛 ∈ ℕ0 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
12 efcvgfsum.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
1312fnmpt 5249 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ0 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ → 𝐹 Fn ℕ0)
1411, 13syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn ℕ0)
15 nn0uz 9367 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
16 0zd 9073 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
17 eqid 2139 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1817eftvalcn 11370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
1918, 8eqeltrd 2216 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2015, 16, 19serf 10254 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
2120ffnd 5273 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0)
22 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23 0zd 9073 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
2422nn0zd 9178 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
2523, 24fzfigd 10211 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0...𝑗) ∈ Fin)
26 simpll 518 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 elfznn0 9901 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2827adantl 275 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2926, 28, 8syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
3025, 29fsumcl 11176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
31 oveq2 5782 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → (0...𝑛) = (0...𝑗))
3231sumeq1d 11142 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
3332, 12fvmptg 5497 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
3422, 30, 33syl2anc 408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
35 simpll 518 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36 elnn0uz 9370 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
3736biimpri 132 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837adantl 275 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3935, 38, 18syl2anc 408 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
4022, 15eleqtrdi 2232 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
4135, 38, 8syl2anc 408 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
4239, 40, 41fsum3ser 11173 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
4334, 42eqtrd 2172 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
4414, 21, 43eqfnfvd 5521 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))))
4517efcvg 11379 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
4644, 45eqbrtrd 3950 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989   Fn wfn 5118  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  0cc0 7627   + caddc 7630   / cdiv 8439  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ...cfz 9797  seqcseq 10225  ↑cexp 10299  !cfa 10478   ⇝ cli 11054  Σcsu 11129  expce 11355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator