Theorem zzlesq 11124

Description: An integer is less than or equal to its square. (Contributed by BJ, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzlesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Proof of Theorem zzlesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 9639	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		animorrl 838	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		olc 723	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
4	2, 3	jaodan 809	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5	1, 4	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		nnlesq 11058	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		0red 8317	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
9	7	resqcld 11115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
10		nn0ge0 9567	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
11		le0neg1 8788	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	11	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑁) → 𝑁 ≤ 0)
13	10, 12	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
14	7	sqge0d 11116	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁↑2))
15	7, 8, 9, 13, 14	letrd 8440	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
16	6, 15	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
17	5, 16	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169   ≤ cle 8351  -cneg 8488  ℕcn 9283  2c2 9334  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ↑cexp 10953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-exp 10954

This theorem is referenced by:  4sqexercise1  13155  4sqexercise2  13156  4sqlemsdc  13157