Theorem zzlesq 10817

Description: An integer is less than or equal to its square. (Contributed by BJ, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzlesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Proof of Theorem zzlesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 9359	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		animorrl 827	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		olc 712	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
4	2, 3	jaodan 798	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5	1, 4	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		nnlesq 10752	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		0red 8044	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
9	7	resqcld 10808	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
10		nn0ge0 9291	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
11		le0neg1 8514	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	11	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑁) → 𝑁 ≤ 0)
13	10, 12	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
14	7	sqge0d 10809	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁↑2))
15	7, 8, 9, 13, 14	letrd 8167	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
16	6, 15	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))
17	5, 16	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896   ≤ cle 8079  -cneg 8215  ℕcn 9007  2c2 9058  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ↑cexp 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by:  4sqexercise1  12592  4sqexercise2  12593  4sqlemsdc  12594