Theorem lt0neg2 8639

Description: Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lt0neg2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))

Proof of Theorem lt0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8169	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltneg 8632	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -0))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -0))
4		neg0 8415	. . 3 ⊢ -0 = 0
5	4	breq2i 4094	. 2 ⊢ (-𝐴 < -0 ↔ -𝐴 < 0)
6	3, 5	bitrdi 196	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021  0cc0 8022   < clt 8204  -cneg 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-sub 8342  df-neg 8343

This theorem is referenced by:  lt0neg2d  8686  elnnz  9479  sincos2sgn  12317  coseq00topi  15549  coseq0negpitopi  15550  rpabscxpbnd  15654