Theorem resubcld 8654

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8537	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  ℝcr 8126   − cmin 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8706  lesubadd  8708  ltaddsub  8710  leaddsub  8712  lesub1  8730  lesub2  8731  ltsub1  8732  ltsub2  8733  lt2sub  8734  le2sub  8735  rereim  8860  ltmul1a  8865  cru  8876  lemul1a  9132  ztri3or  9620  lincmb01cmp  10336  lincmble  10337  iccf1o  10338  rebtwn2z  10614  qbtwnrelemcalc  10615  qbtwnre  10616  intfracq  10682  modqval  10686  modqlt  10695  modqsubdir  10755  ser3le  10899  expnbnd  11025  bcm1n  11131  crre  11542  remullem  11556  recvguniqlem  11679  resqrexlemover  11695  resqrexlemcalc2  11700  resqrexlemcalc3  11701  resqrexlemnmsq  11702  resqrexlemnm  11703  resqrexlemcvg  11704  resqrexlemglsq  11707  resqrexlemga  11708  fzomaxdiflem  11797  caubnd2  11802  amgm2  11803  icodiamlt  11865  qdenre  11887  maxabslemab  11891  maxabslemlub  11892  maxltsup  11903  bdtrilem  11924  bdtri  11925  mulcn2  11997  reccn2ap  11998  climle  12019  climsqz  12020  climsqz2  12021  climcvg1nlem  12034  fsumle  12149  cvgratnnlembern  12209  cvgratnnlemsumlt  12214  cvgratnnlemfm  12215  cvgratnnlemrate  12216  cvgratnn  12217  efltim  12384  sin01bnd  12443  sin01gt0  12448  cos12dec  12454  bitscmp  12644  bitsinv1lem  12647  uzwodc  12733  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem14  12975  4sqlem15  13103  blss2ps  15271  blss2  15272  blssps  15292  blss  15293  maxcncf  15480  mincncf  15481  ivthinclemlopn  15501  ivthinclemuopn  15503  ivthreinc  15510  dvcjbr  15573  reeff1oleme  15637  efltlemlt  15639  sin0pilem1  15646  tangtx  15703  cosordlem  15714  cosq34lt1  15715  pellexlem2  15846  gausslemma2dlem1a  15931  lgsquadlem1  15950  repiecelem  16809  cvgcmp2nlemabs  16816  iooref1o  16818  trilpolemlt1  16825  trirec0  16828  apdifflemf  16830  qdiff  16833  neap0mkv  16855  gsumgfsumlem  16865