Theorem resubcld 8369

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5897  ℝcr 7841   − cmin 8159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-sub 8161  df-neg 8162

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8420  lesubadd  8422  ltaddsub  8424  leaddsub  8426  lesub1  8444  lesub2  8445  ltsub1  8446  ltsub2  8447  lt2sub  8448  le2sub  8449  rereim  8574  ltmul1a  8579  cru  8590  lemul1a  8846  ztri3or  9327  lincmb01cmp  10035  iccf1o  10036  rebtwn2z  10287  qbtwnrelemcalc  10288  qbtwnre  10289  intfracq  10353  modqval  10357  modqlt  10366  modqsubdir  10426  ser3le  10552  expnbnd  10678  crre  10901  remullem  10915  recvguniqlem  11038  resqrexlemover  11054  resqrexlemcalc2  11059  resqrexlemcalc3  11060  resqrexlemnmsq  11061  resqrexlemnm  11062  resqrexlemcvg  11063  resqrexlemglsq  11066  resqrexlemga  11067  fzomaxdiflem  11156  caubnd2  11161  amgm2  11162  icodiamlt  11224  qdenre  11246  maxabslemab  11250  maxabslemlub  11251  maxltsup  11262  bdtrilem  11282  bdtri  11283  mulcn2  11355  reccn2ap  11356  climle  11377  climsqz  11378  climsqz2  11379  climcvg1nlem  11392  fsumle  11506  cvgratnnlembern  11566  cvgratnnlemsumlt  11571  cvgratnnlemfm  11572  cvgratnnlemrate  11573  cvgratnn  11574  efltim  11741  sin01bnd  11800  sin01gt0  11804  cos12dec  11810  uzwodc  12073  pythagtriplem12  12310  pythagtriplem14  12312  4sqlem15  12440  blss2ps  14383  blss2  14384  blssps  14404  blss  14405  ivthinclemlopn  14591  ivthinclemuopn  14593  dvcjbr  14649  reeff1oleme  14670  efltlemlt  14672  sin0pilem1  14679  tangtx  14736  cosordlem  14747  cosq34lt1  14748  cvgcmp2nlemabs  15259  iooref1o  15261  trilpolemlt1  15268  trirec0  15271  apdifflemf  15273  neap0mkv  15296