Theorem resubcld 8452

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8335	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  ℝcr 7923   − cmin 8242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244  df-neg 8245

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8504  lesubadd  8506  ltaddsub  8508  leaddsub  8510  lesub1  8528  lesub2  8529  ltsub1  8530  ltsub2  8531  lt2sub  8532  le2sub  8533  rereim  8658  ltmul1a  8663  cru  8674  lemul1a  8930  ztri3or  9414  lincmb01cmp  10124  iccf1o  10125  rebtwn2z  10395  qbtwnrelemcalc  10396  qbtwnre  10397  intfracq  10463  modqval  10467  modqlt  10476  modqsubdir  10536  ser3le  10680  expnbnd  10806  crre  11139  remullem  11153  recvguniqlem  11276  resqrexlemover  11292  resqrexlemcalc2  11297  resqrexlemcalc3  11298  resqrexlemnmsq  11299  resqrexlemnm  11300  resqrexlemcvg  11301  resqrexlemglsq  11304  resqrexlemga  11305  fzomaxdiflem  11394  caubnd2  11399  amgm2  11400  icodiamlt  11462  qdenre  11484  maxabslemab  11488  maxabslemlub  11489  maxltsup  11500  bdtrilem  11521  bdtri  11522  mulcn2  11594  reccn2ap  11595  climle  11616  climsqz  11617  climsqz2  11618  climcvg1nlem  11631  fsumle  11745  cvgratnnlembern  11805  cvgratnnlemsumlt  11810  cvgratnnlemfm  11811  cvgratnnlemrate  11812  cvgratnn  11813  efltim  11980  sin01bnd  12039  sin01gt0  12044  cos12dec  12050  bitscmp  12240  bitsinv1lem  12243  uzwodc  12329  pythagtriplem12  12569  pythagtriplem14  12571  4sqlem15  12699  blss2ps  14849  blss2  14850  blssps  14870  blss  14871  maxcncf  15058  mincncf  15059  ivthinclemlopn  15079  ivthinclemuopn  15081  ivthreinc  15088  dvcjbr  15151  reeff1oleme  15215  efltlemlt  15217  sin0pilem1  15224  tangtx  15281  cosordlem  15292  cosq34lt1  15293  gausslemma2dlem1a  15506  lgsquadlem1  15525  cvgcmp2nlemabs  15933  iooref1o  15935  trilpolemlt1  15942  trirec0  15945  apdifflemf  15947  neap0mkv  15970