Theorem resubcld 8559

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  ℝcr 8030   − cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8611  lesubadd  8613  ltaddsub  8615  leaddsub  8617  lesub1  8635  lesub2  8636  ltsub1  8637  ltsub2  8638  lt2sub  8639  le2sub  8640  rereim  8765  ltmul1a  8770  cru  8781  lemul1a  9037  ztri3or  9521  lincmb01cmp  10237  iccf1o  10238  rebtwn2z  10513  qbtwnrelemcalc  10514  qbtwnre  10515  intfracq  10581  modqval  10585  modqlt  10594  modqsubdir  10654  ser3le  10798  expnbnd  10924  crre  11417  remullem  11431  recvguniqlem  11554  resqrexlemover  11570  resqrexlemcalc2  11575  resqrexlemcalc3  11576  resqrexlemnmsq  11577  resqrexlemnm  11578  resqrexlemcvg  11579  resqrexlemglsq  11582  resqrexlemga  11583  fzomaxdiflem  11672  caubnd2  11677  amgm2  11678  icodiamlt  11740  qdenre  11762  maxabslemab  11766  maxabslemlub  11767  maxltsup  11778  bdtrilem  11799  bdtri  11800  mulcn2  11872  reccn2ap  11873  climle  11894  climsqz  11895  climsqz2  11896  climcvg1nlem  11909  fsumle  12023  cvgratnnlembern  12083  cvgratnnlemsumlt  12088  cvgratnnlemfm  12089  cvgratnnlemrate  12090  cvgratnn  12091  efltim  12258  sin01bnd  12317  sin01gt0  12322  cos12dec  12328  bitscmp  12518  bitsinv1lem  12521  uzwodc  12607  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem14  12849  4sqlem15  12977  blss2ps  15129  blss2  15130  blssps  15150  blss  15151  maxcncf  15338  mincncf  15339  ivthinclemlopn  15359  ivthinclemuopn  15361  ivthreinc  15368  dvcjbr  15431  reeff1oleme  15495  efltlemlt  15497  sin0pilem1  15504  tangtx  15561  cosordlem  15572  cosq34lt1  15573  gausslemma2dlem1a  15786  lgsquadlem1  15805  cvgcmp2nlemabs  16636  iooref1o  16638  trilpolemlt1  16645  trirec0  16648  apdifflemf  16650  neap0mkv  16673  gsumgfsumlem  16683