Theorem resubcld 8337

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5874  ℝcr 7809   − cmin 8127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8129  df-neg 8130

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8388  lesubadd  8390  ltaddsub  8392  leaddsub  8394  lesub1  8412  lesub2  8413  ltsub1  8414  ltsub2  8415  lt2sub  8416  le2sub  8417  rereim  8542  ltmul1a  8547  cru  8558  lemul1a  8814  ztri3or  9295  lincmb01cmp  10002  iccf1o  10003  rebtwn2z  10254  qbtwnrelemcalc  10255  qbtwnre  10256  intfracq  10319  modqval  10323  modqlt  10332  modqsubdir  10392  ser3le  10517  expnbnd  10643  crre  10865  remullem  10879  recvguniqlem  11002  resqrexlemover  11018  resqrexlemcalc2  11023  resqrexlemcalc3  11024  resqrexlemnmsq  11025  resqrexlemnm  11026  resqrexlemcvg  11027  resqrexlemglsq  11030  resqrexlemga  11031  fzomaxdiflem  11120  caubnd2  11125  amgm2  11126  icodiamlt  11188  qdenre  11210  maxabslemab  11214  maxabslemlub  11215  maxltsup  11226  bdtrilem  11246  bdtri  11247  mulcn2  11319  reccn2ap  11320  climle  11341  climsqz  11342  climsqz2  11343  climcvg1nlem  11356  fsumle  11470  cvgratnnlembern  11530  cvgratnnlemsumlt  11535  cvgratnnlemfm  11536  cvgratnnlemrate  11537  cvgratnn  11538  efltim  11705  sin01bnd  11764  sin01gt0  11768  cos12dec  11774  uzwodc  12037  pythagtriplem12  12274  pythagtriplem14  12276  blss2ps  13876  blss2  13877  blssps  13897  blss  13898  ivthinclemlopn  14084  ivthinclemuopn  14086  dvcjbr  14142  reeff1oleme  14163  efltlemlt  14165  sin0pilem1  14172  tangtx  14229  cosordlem  14240  cosq34lt1  14241  cvgcmp2nlemabs  14750  iooref1o  14752  trilpolemlt1  14759  trirec0  14762  apdifflemf  14764  neap0mkv  14786