Theorem resubcld 8136

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5767  ℝcr 7612   − cmin 7926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8187  lesubadd  8189  ltaddsub  8191  leaddsub  8193  lesub1  8211  lesub2  8212  ltsub1  8213  ltsub2  8214  lt2sub  8215  le2sub  8216  rereim  8341  ltmul1a  8346  cru  8357  lemul1a  8609  ztri3or  9090  lincmb01cmp  9779  iccf1o  9780  rebtwn2z  10025  qbtwnrelemcalc  10026  qbtwnre  10027  intfracq  10086  modqval  10090  modqlt  10099  modqsubdir  10159  ser3le  10284  expnbnd  10408  crre  10622  remullem  10636  recvguniqlem  10759  resqrexlemover  10775  resqrexlemcalc2  10780  resqrexlemcalc3  10781  resqrexlemnmsq  10782  resqrexlemnm  10783  resqrexlemcvg  10784  resqrexlemglsq  10787  resqrexlemga  10788  fzomaxdiflem  10877  caubnd2  10882  amgm2  10883  icodiamlt  10945  qdenre  10967  maxabslemab  10971  maxabslemlub  10972  maxltsup  10983  bdtrilem  11003  bdtri  11004  mulcn2  11074  reccn2ap  11075  climle  11096  climsqz  11097  climsqz2  11098  climcvg1nlem  11111  fsumle  11225  cvgratnnlembern  11285  cvgratnnlemsumlt  11290  cvgratnnlemfm  11291  cvgratnnlemrate  11292  cvgratnn  11293  efltim  11393  sin01bnd  11453  sin01gt0  11457  cos12dec  11463  blss2ps  12564  blss2  12565  blssps  12585  blss  12586  ivthinclemlopn  12772  ivthinclemuopn  12774  dvcjbr  12830  sin0pilem1  12851  tangtx  12908  cosordlem  12919  cosq34lt1  12920  cvgcmp2nlemabs  13216  trilpolemlt1  13223