Theorem resubcld 8560

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8443	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℝcr 8031   − cmin 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-neg 8353

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8612  lesubadd  8614  ltaddsub  8616  leaddsub  8618  lesub1  8636  lesub2  8637  ltsub1  8638  ltsub2  8639  lt2sub  8640  le2sub  8641  rereim  8766  ltmul1a  8771  cru  8782  lemul1a  9038  ztri3or  9522  lincmb01cmp  10238  iccf1o  10239  rebtwn2z  10515  qbtwnrelemcalc  10516  qbtwnre  10517  intfracq  10583  modqval  10587  modqlt  10596  modqsubdir  10656  ser3le  10800  expnbnd  10926  crre  11435  remullem  11449  recvguniqlem  11572  resqrexlemover  11588  resqrexlemcalc2  11593  resqrexlemcalc3  11594  resqrexlemnmsq  11595  resqrexlemnm  11596  resqrexlemcvg  11597  resqrexlemglsq  11600  resqrexlemga  11601  fzomaxdiflem  11690  caubnd2  11695  amgm2  11696  icodiamlt  11758  qdenre  11780  maxabslemab  11784  maxabslemlub  11785  maxltsup  11796  bdtrilem  11817  bdtri  11818  mulcn2  11890  reccn2ap  11891  climle  11912  climsqz  11913  climsqz2  11914  climcvg1nlem  11927  fsumle  12042  cvgratnnlembern  12102  cvgratnnlemsumlt  12107  cvgratnnlemfm  12108  cvgratnnlemrate  12109  cvgratnn  12110  efltim  12277  sin01bnd  12336  sin01gt0  12341  cos12dec  12347  bitscmp  12537  bitsinv1lem  12540  uzwodc  12626  pythagtriplem12  12866  pythagtriplem14  12868  4sqlem15  12996  blss2ps  15149  blss2  15150  blssps  15170  blss  15171  maxcncf  15358  mincncf  15359  ivthinclemlopn  15379  ivthinclemuopn  15381  ivthreinc  15388  dvcjbr  15451  reeff1oleme  15515  efltlemlt  15517  sin0pilem1  15524  tangtx  15581  cosordlem  15592  cosq34lt1  15593  gausslemma2dlem1a  15806  lgsquadlem1  15825  cvgcmp2nlemabs  16687  iooref1o  16689  trilpolemlt1  16696  trirec0  16699  apdifflemf  16701  qdiff  16704  neap0mkv  16725  gsumgfsumlem  16735