Theorem resubcld 7762

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 7649	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5591  ℝcr 7252   − cmin 7556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-setind 4316  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-sub 7558  df-neg 7559

This theorem is referenced by:  ltsubadd  7813  lesubadd  7815  ltaddsub  7817  leaddsub  7819  lesub1  7837  lesub2  7838  ltsub1  7839  ltsub2  7840  lt2sub  7841  le2sub  7842  rereim  7963  ltmul1a  7968  cru  7979  lemul1a  8213  ztri3or  8689  lincmb01cmp  9315  iccf1o  9316  rebtwn2z  9555  qbtwnrelemcalc  9556  qbtwnre  9557  intfracq  9616  modqval  9620  modqlt  9629  modqsubdir  9689  serile  9790  expnbnd  9912  crre  10118  remullem  10132  recvguniqlem  10254  resqrexlemover  10270  resqrexlemcalc2  10275  resqrexlemcalc3  10276  resqrexlemnmsq  10277  resqrexlemnm  10278  resqrexlemcvg  10279  resqrexlemglsq  10282  resqrexlemga  10283  fzomaxdiflem  10372  caubnd2  10377  amgm2  10378  icodiamlt  10440  qdenre  10462  maxabslemab  10466  maxabslemlub  10467  maxltsup  10478  mulcn2  10525  climle  10546  climsqz  10547  climsqz2  10548  climcvg1nlem  10560