Theorem resubcld 8708

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℝcr 8178   − cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  ltsubadd  8760  lesubadd  8762  ltaddsub  8764  leaddsub  8766  lesub1  8784  lesub2  8785  ltsub1  8786  ltsub2  8787  lt2sub  8788  le2sub  8789  rereim  8914  ltmul1a  8919  cru  8930  lemul1a  9188  ztri3or  9687  lincmb01cmp  10405  lincmble  10406  iccf1o  10407  rebtwn2z  10689  qbtwnrelemcalc  10690  qbtwnre  10691  intfracq  10757  modqval  10761  modqlt  10770  modqsubdir  10830  ser3le  10974  resq01  11095  expnbnd  11101  bcm1n  11207  crre  11622  remullem  11636  recvguniqlem  11760  resqrexlemover  11776  resqrexlemcalc2  11781  resqrexlemcalc3  11782  resqrexlemnmsq  11783  resqrexlemnm  11784  resqrexlemcvg  11785  resqrexlemglsq  11788  resqrexlemga  11789  fzomaxdiflem  11878  caubnd2  11883  amgm2  11884  icodiamlt  11946  qdenre  11968  maxabslemab  11972  maxabslemlub  11973  maxltsup  11984  bdtrilem  12005  bdtri  12006  mulcn2  12078  reccn2ap  12079  climle  12100  climsqz  12101  climsqz2  12102  climcvg1nlem  12115  fsumle  12230  cvgratnnlembern  12290  cvgratnnlemsumlt  12295  cvgratnnlemfm  12296  cvgratnnlemrate  12297  cvgratnn  12298  efltim  12465  sin01bnd  12524  sin01gt0  12529  cos12dec  12535  bitscmp  12725  bitsinv1lem  12728  uzwodc  12814  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem14  13056  4sqlem15  13184  ballotfilemfrcn0  13273  gzsumshift  14149  blss2ps  15507  blss2  15508  blssps  15528  blss  15529  maxcncf  15716  mincncf  15717  ivthinclemlopn  15737  ivthinclemuopn  15739  ivthreinc  15746  dvcjbr  15809  reeff1oleme  15873  efltlemlt  15875  sin0pilem1  15882  tangtx  15939  cosordlem  15950  cosq34lt1  15951  birthdaylem3  16089  pellexlem2  16092  gausslemma2dlem1a  16177  lgsquadlem1  16196  repiecelem  17074  cvgcmp2nlemabs  17081  iooref1o  17083  trilpolemlt1  17090  trirec0  17093  apdifflemf  17095  qdiff  17098  neap0mkv  17119