Theorem resubcld 8340

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8223	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℝcr 7812   − cmin 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8391  lesubadd  8393  ltaddsub  8395  leaddsub  8397  lesub1  8415  lesub2  8416  ltsub1  8417  ltsub2  8418  lt2sub  8419  le2sub  8420  rereim  8545  ltmul1a  8550  cru  8561  lemul1a  8817  ztri3or  9298  lincmb01cmp  10005  iccf1o  10006  rebtwn2z  10257  qbtwnrelemcalc  10258  qbtwnre  10259  intfracq  10322  modqval  10326  modqlt  10335  modqsubdir  10395  ser3le  10520  expnbnd  10646  crre  10868  remullem  10882  recvguniqlem  11005  resqrexlemover  11021  resqrexlemcalc2  11026  resqrexlemcalc3  11027  resqrexlemnmsq  11028  resqrexlemnm  11029  resqrexlemcvg  11030  resqrexlemglsq  11033  resqrexlemga  11034  fzomaxdiflem  11123  caubnd2  11128  amgm2  11129  icodiamlt  11191  qdenre  11213  maxabslemab  11217  maxabslemlub  11218  maxltsup  11229  bdtrilem  11249  bdtri  11250  mulcn2  11322  reccn2ap  11323  climle  11344  climsqz  11345  climsqz2  11346  climcvg1nlem  11359  fsumle  11473  cvgratnnlembern  11533  cvgratnnlemsumlt  11538  cvgratnnlemfm  11539  cvgratnnlemrate  11540  cvgratnn  11541  efltim  11708  sin01bnd  11767  sin01gt0  11771  cos12dec  11777  uzwodc  12040  pythagtriplem12  12277  pythagtriplem14  12279  blss2ps  13945  blss2  13946  blssps  13966  blss  13967  ivthinclemlopn  14153  ivthinclemuopn  14155  dvcjbr  14211  reeff1oleme  14232  efltlemlt  14234  sin0pilem1  14241  tangtx  14298  cosordlem  14309  cosq34lt1  14310  cvgcmp2nlemabs  14819  iooref1o  14821  trilpolemlt1  14828  trirec0  14831  apdifflemf  14833  neap0mkv  14856