Theorem resubcld 8523

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  ℝcr 7994   − cmin 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-neg 8316

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8575  lesubadd  8577  ltaddsub  8579  leaddsub  8581  lesub1  8599  lesub2  8600  ltsub1  8601  ltsub2  8602  lt2sub  8603  le2sub  8604  rereim  8729  ltmul1a  8734  cru  8745  lemul1a  9001  ztri3or  9485  lincmb01cmp  10195  iccf1o  10196  rebtwn2z  10469  qbtwnrelemcalc  10470  qbtwnre  10471  intfracq  10537  modqval  10541  modqlt  10550  modqsubdir  10610  ser3le  10754  expnbnd  10880  crre  11363  remullem  11377  recvguniqlem  11500  resqrexlemover  11516  resqrexlemcalc2  11521  resqrexlemcalc3  11522  resqrexlemnmsq  11523  resqrexlemnm  11524  resqrexlemcvg  11525  resqrexlemglsq  11528  resqrexlemga  11529  fzomaxdiflem  11618  caubnd2  11623  amgm2  11624  icodiamlt  11686  qdenre  11708  maxabslemab  11712  maxabslemlub  11713  maxltsup  11724  bdtrilem  11745  bdtri  11746  mulcn2  11818  reccn2ap  11819  climle  11840  climsqz  11841  climsqz2  11842  climcvg1nlem  11855  fsumle  11969  cvgratnnlembern  12029  cvgratnnlemsumlt  12034  cvgratnnlemfm  12035  cvgratnnlemrate  12036  cvgratnn  12037  efltim  12204  sin01bnd  12263  sin01gt0  12268  cos12dec  12274  bitscmp  12464  bitsinv1lem  12467  uzwodc  12553  pythagtriplem12  12793  pythagtriplem14  12795  4sqlem15  12923  blss2ps  15074  blss2  15075  blssps  15095  blss  15096  maxcncf  15283  mincncf  15284  ivthinclemlopn  15304  ivthinclemuopn  15306  ivthreinc  15313  dvcjbr  15376  reeff1oleme  15440  efltlemlt  15442  sin0pilem1  15449  tangtx  15506  cosordlem  15517  cosq34lt1  15518  gausslemma2dlem1a  15731  lgsquadlem1  15750  cvgcmp2nlemabs  16359  iooref1o  16361  trilpolemlt1  16368  trirec0  16371  apdifflemf  16373  neap0mkv  16396