Theorem resubcld 8710

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℝcr 8179   − cmin 8499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502

This theorem is used by:  ltsubadd  8762  lesubadd  8764  ltaddsub  8766  leaddsub  8768  lesub1  8786  lesub2  8787  ltsub1  8788  ltsub2  8789  lt2sub  8790  le2sub  8791  rereim  8917  ltmul1a  8922  cru  8933  lemul1a  9191  ztri3or  9692  lincmb01cmp  10416  lincmble  10417  iccf1o  10418  rebtwn2z  10700  qbtwnrelemcalc  10701  qbtwnre  10702  intfracq  10772  modqval  10776  modqlt  10785  modqsubdir  10845  ser3le  10989  resq01  11110  expnbnd  11116  bcm1n  11223  crre  11638  remullem  11652  recvguniqlem  11776  resqrexlemover  11792  resqrexlemcalc2  11797  resqrexlemcalc3  11798  resqrexlemnmsq  11799  resqrexlemnm  11800  resqrexlemcvg  11801  resqrexlemglsq  11804  resqrexlemga  11805  fzomaxdiflem  11895  caubnd2  11900  amgm2  11901  icodiamlt  11963  qdenre  11985  maxabslemab  11989  maxabslemlub  11990  maxltsup  12001  bdtrilem  12024  bdtri  12025  mulcn2  12097  reccn2ap  12098  climle  12119  climsqz  12120  climsqz2  12121  climcvg1nlem  12134  fsumle  12249  cvgratnnlembern  12309  cvgratnnlemsumlt  12314  cvgratnnlemfm  12315  cvgratnnlemrate  12316  cvgratnn  12317  efltim  12484  sin01bnd  12543  sin01gt0  12548  cos12dec  12554  bitscmp  12744  bitsinv1lem  12747  uzwodc  12833  pythagtriplem12  13077  pythagtriplem14  13079  4sqlem15  13207  ballotfilemfrcn0  13325  gzsumshift  14233  blss2ps  15598  blss2  15599  blssps  15619  blss  15620  maxcncf  15807  mincncf  15808  ivthinclemlopn  15828  ivthinclemuopn  15830  ivthreinc  15837  dvcjbr  15900  reeff1oleme  15964  efltlemlt  15966  sin0pilem1  15974  tangtx  16031  cosordlem  16042  cosq34lt1  16043  birthdaylem3  16188  pellexlem2  16191  bposlem1  16272  bposlem9  16280  gausslemma2dlem1a  16343  lgsquadlem1  16362  repiecelem  17240  cvgcmp2nlemabs  17247  iooref1o  17249  trilpolemlt1  17257  trirec0  17260  apdifflemf  17262  qdiff  17265  neap0mkv  17286