Theorem resubcld 8453

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8336	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5944  ℝcr 7924   − cmin 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8505  lesubadd  8507  ltaddsub  8509  leaddsub  8511  lesub1  8529  lesub2  8530  ltsub1  8531  ltsub2  8532  lt2sub  8533  le2sub  8534  rereim  8659  ltmul1a  8664  cru  8675  lemul1a  8931  ztri3or  9415  lincmb01cmp  10125  iccf1o  10126  rebtwn2z  10397  qbtwnrelemcalc  10398  qbtwnre  10399  intfracq  10465  modqval  10469  modqlt  10478  modqsubdir  10538  ser3le  10682  expnbnd  10808  crre  11168  remullem  11182  recvguniqlem  11305  resqrexlemover  11321  resqrexlemcalc2  11326  resqrexlemcalc3  11327  resqrexlemnmsq  11328  resqrexlemnm  11329  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemglsq  11333  resqrexlemga  11334  fzomaxdiflem  11423  caubnd2  11428  amgm2  11429  icodiamlt  11491  qdenre  11513  maxabslemab  11517  maxabslemlub  11518  maxltsup  11529  bdtrilem  11550  bdtri  11551  mulcn2  11623  reccn2ap  11624  climle  11645  climsqz  11646  climsqz2  11647  climcvg1nlem  11660  fsumle  11774  cvgratnnlembern  11834  cvgratnnlemsumlt  11839  cvgratnnlemfm  11840  cvgratnnlemrate  11841  cvgratnn  11842  efltim  12009  sin01bnd  12068  sin01gt0  12073  cos12dec  12079  bitscmp  12269  bitsinv1lem  12272  uzwodc  12358  pythagtriplem12  12598  pythagtriplem14  12600  4sqlem15  12728  blss2ps  14878  blss2  14879  blssps  14899  blss  14900  maxcncf  15087  mincncf  15088  ivthinclemlopn  15108  ivthinclemuopn  15110  ivthreinc  15117  dvcjbr  15180  reeff1oleme  15244  efltlemlt  15246  sin0pilem1  15253  tangtx  15310  cosordlem  15321  cosq34lt1  15322  gausslemma2dlem1a  15535  lgsquadlem1  15554  cvgcmp2nlemabs  15971  iooref1o  15973  trilpolemlt1  15980  trirec0  15983  apdifflemf  15985  neap0mkv  16008