Theorem resubcld 8407

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℝcr 7878   − cmin 8197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-neg 8200

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8459  lesubadd  8461  ltaddsub  8463  leaddsub  8465  lesub1  8483  lesub2  8484  ltsub1  8485  ltsub2  8486  lt2sub  8487  le2sub  8488  rereim  8613  ltmul1a  8618  cru  8629  lemul1a  8885  ztri3or  9369  lincmb01cmp  10078  iccf1o  10079  rebtwn2z  10344  qbtwnrelemcalc  10345  qbtwnre  10346  intfracq  10412  modqval  10416  modqlt  10425  modqsubdir  10485  ser3le  10629  expnbnd  10755  crre  11022  remullem  11036  recvguniqlem  11159  resqrexlemover  11175  resqrexlemcalc2  11180  resqrexlemcalc3  11181  resqrexlemnmsq  11182  resqrexlemnm  11183  resqrexlemcvg  11184  resqrexlemglsq  11187  resqrexlemga  11188  fzomaxdiflem  11277  caubnd2  11282  amgm2  11283  icodiamlt  11345  qdenre  11367  maxabslemab  11371  maxabslemlub  11372  maxltsup  11383  bdtrilem  11404  bdtri  11405  mulcn2  11477  reccn2ap  11478  climle  11499  climsqz  11500  climsqz2  11501  climcvg1nlem  11514  fsumle  11628  cvgratnnlembern  11688  cvgratnnlemsumlt  11693  cvgratnnlemfm  11694  cvgratnnlemrate  11695  cvgratnn  11696  efltim  11863  sin01bnd  11922  sin01gt0  11927  cos12dec  11933  uzwodc  12204  pythagtriplem12  12444  pythagtriplem14  12446  4sqlem15  12574  blss2ps  14642  blss2  14643  blssps  14663  blss  14664  maxcncf  14851  mincncf  14852  ivthinclemlopn  14872  ivthinclemuopn  14874  ivthreinc  14881  dvcjbr  14944  reeff1oleme  15008  efltlemlt  15010  sin0pilem1  15017  tangtx  15074  cosordlem  15085  cosq34lt1  15086  gausslemma2dlem1a  15299  lgsquadlem1  15318  cvgcmp2nlemabs  15676  iooref1o  15678  trilpolemlt1  15685  trirec0  15688  apdifflemf  15690  neap0mkv  15713