Theorem resubcld 7803

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 7690	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1436  (class class class)co 5613  ℝcr 7293   − cmin 7597

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-setind 4326  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addcom 7389  ax-addass 7391  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-cnre 7400

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-sub 7599  df-neg 7600

This theorem is referenced by:  ltsubadd  7854  lesubadd  7856  ltaddsub  7858  leaddsub  7860  lesub1  7878  lesub2  7879  ltsub1  7880  ltsub2  7881  lt2sub  7882  le2sub  7883  rereim  8004  ltmul1a  8009  cru  8020  lemul1a  8254  ztri3or  8726  lincmb01cmp  9352  iccf1o  9353  rebtwn2z  9594  qbtwnrelemcalc  9595  qbtwnre  9596  intfracq  9655  modqval  9659  modqlt  9668  modqsubdir  9728  serile  9851  expnbnd  9973  crre  10186  remullem  10200  recvguniqlem  10322  resqrexlemover  10338  resqrexlemcalc2  10343  resqrexlemcalc3  10344  resqrexlemnmsq  10345  resqrexlemnm  10346  resqrexlemcvg  10347  resqrexlemglsq  10350  resqrexlemga  10351  fzomaxdiflem  10440  caubnd2  10445  amgm2  10446  icodiamlt  10508  qdenre  10530  maxabslemab  10534  maxabslemlub  10535  maxltsup  10546  mulcn2  10593  climle  10614  climsqz  10615  climsqz2  10616  climcvg1nlem  10628