Theorem resubcld 8426

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℝcr 7897   − cmin 8216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218  df-neg 8219

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8478  lesubadd  8480  ltaddsub  8482  leaddsub  8484  lesub1  8502  lesub2  8503  ltsub1  8504  ltsub2  8505  lt2sub  8506  le2sub  8507  rereim  8632  ltmul1a  8637  cru  8648  lemul1a  8904  ztri3or  9388  lincmb01cmp  10097  iccf1o  10098  rebtwn2z  10363  qbtwnrelemcalc  10364  qbtwnre  10365  intfracq  10431  modqval  10435  modqlt  10444  modqsubdir  10504  ser3le  10648  expnbnd  10774  crre  11041  remullem  11055  recvguniqlem  11178  resqrexlemover  11194  resqrexlemcalc2  11199  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemnmsq  11201  resqrexlemnm  11202  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemglsq  11206  resqrexlemga  11207  fzomaxdiflem  11296  caubnd2  11301  amgm2  11302  icodiamlt  11364  qdenre  11386  maxabslemab  11390  maxabslemlub  11391  maxltsup  11402  bdtrilem  11423  bdtri  11424  mulcn2  11496  reccn2ap  11497  climle  11518  climsqz  11519  climsqz2  11520  climcvg1nlem  11533  fsumle  11647  cvgratnnlembern  11707  cvgratnnlemsumlt  11712  cvgratnnlemfm  11713  cvgratnnlemrate  11714  cvgratnn  11715  efltim  11882  sin01bnd  11941  sin01gt0  11946  cos12dec  11952  bitscmp  12142  bitsinv1lem  12145  uzwodc  12231  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem14  12473  4sqlem15  12601  blss2ps  14750  blss2  14751  blssps  14771  blss  14772  maxcncf  14959  mincncf  14960  ivthinclemlopn  14980  ivthinclemuopn  14982  ivthreinc  14989  dvcjbr  15052  reeff1oleme  15116  efltlemlt  15118  sin0pilem1  15125  tangtx  15182  cosordlem  15193  cosq34lt1  15194  gausslemma2dlem1a  15407  lgsquadlem1  15426  cvgcmp2nlemabs  15789  iooref1o  15791  trilpolemlt1  15798  trirec0  15801  apdifflemf  15803  neap0mkv  15826