Theorem resubcld 8300

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   − cmin 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8351  lesubadd  8353  ltaddsub  8355  leaddsub  8357  lesub1  8375  lesub2  8376  ltsub1  8377  ltsub2  8378  lt2sub  8379  le2sub  8380  rereim  8505  ltmul1a  8510  cru  8521  lemul1a  8774  ztri3or  9255  lincmb01cmp  9960  iccf1o  9961  rebtwn2z  10211  qbtwnrelemcalc  10212  qbtwnre  10213  intfracq  10276  modqval  10280  modqlt  10289  modqsubdir  10349  ser3le  10474  expnbnd  10599  crre  10821  remullem  10835  recvguniqlem  10958  resqrexlemover  10974  resqrexlemcalc2  10979  resqrexlemcalc3  10980  resqrexlemnmsq  10981  resqrexlemnm  10982  resqrexlemcvg  10983  resqrexlemglsq  10986  resqrexlemga  10987  fzomaxdiflem  11076  caubnd2  11081  amgm2  11082  icodiamlt  11144  qdenre  11166  maxabslemab  11170  maxabslemlub  11171  maxltsup  11182  bdtrilem  11202  bdtri  11203  mulcn2  11275  reccn2ap  11276  climle  11297  climsqz  11298  climsqz2  11299  climcvg1nlem  11312  fsumle  11426  cvgratnnlembern  11486  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratnnlemfm  11492  cvgratnnlemrate  11493  cvgratnn  11494  efltim  11661  sin01bnd  11720  sin01gt0  11724  cos12dec  11730  uzwodc  11992  pythagtriplem12  12229  pythagtriplem14  12231  blss2ps  13200  blss2  13201  blssps  13221  blss  13222  ivthinclemlopn  13408  ivthinclemuopn  13410  dvcjbr  13466  reeff1oleme  13487  efltlemlt  13489  sin0pilem1  13496  tangtx  13553  cosordlem  13564  cosq34lt1  13565  cvgcmp2nlemabs  14064  iooref1o  14066  trilpolemlt1  14073  trirec0  14076  apdifflemf  14078