ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resubcld GIF version

Theorem resubcld 8166
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
resubcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resubcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 resubcl 8049 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 409 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481  (class class class)co 5781  cr 7642  cmin 7956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958  df-neg 7959
This theorem is referenced by:  ltsubadd  8217  lesubadd  8219  ltaddsub  8221  leaddsub  8223  lesub1  8241  lesub2  8242  ltsub1  8243  ltsub2  8244  lt2sub  8245  le2sub  8246  rereim  8371  ltmul1a  8376  cru  8387  lemul1a  8639  ztri3or  9120  lincmb01cmp  9815  iccf1o  9816  rebtwn2z  10062  qbtwnrelemcalc  10063  qbtwnre  10064  intfracq  10123  modqval  10127  modqlt  10136  modqsubdir  10196  ser3le  10321  expnbnd  10445  crre  10660  remullem  10674  recvguniqlem  10797  resqrexlemover  10813  resqrexlemcalc2  10818  resqrexlemcalc3  10819  resqrexlemnmsq  10820  resqrexlemnm  10821  resqrexlemcvg  10822  resqrexlemglsq  10825  resqrexlemga  10826  fzomaxdiflem  10915  caubnd2  10920  amgm2  10921  icodiamlt  10983  qdenre  11005  maxabslemab  11009  maxabslemlub  11010  maxltsup  11021  bdtrilem  11041  bdtri  11042  mulcn2  11112  reccn2ap  11113  climle  11134  climsqz  11135  climsqz2  11136  climcvg1nlem  11149  fsumle  11263  cvgratnnlembern  11323  cvgratnnlemsumlt  11328  cvgratnnlemfm  11329  cvgratnnlemrate  11330  cvgratnn  11331  efltim  11439  sin01bnd  11498  sin01gt0  11502  cos12dec  11508  blss2ps  12612  blss2  12613  blssps  12633  blss  12634  ivthinclemlopn  12820  ivthinclemuopn  12822  dvcjbr  12878  reeff1oleme  12899  efltlemlt  12901  sin0pilem1  12908  tangtx  12965  cosordlem  12976  cosq34lt1  12977  cvgcmp2nlemabs  13400  trilpolemlt1  13407  trirec0  13410  apdifflemf  13412  iooref1o  13424
  Copyright terms: Public domain W3C validator