Theorem resubcld 8538

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 8421	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℝcr 8009   − cmin 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331

This theorem is referenced by:  ltsubadd  8590  lesubadd  8592  ltaddsub  8594  leaddsub  8596  lesub1  8614  lesub2  8615  ltsub1  8616  ltsub2  8617  lt2sub  8618  le2sub  8619  rereim  8744  ltmul1a  8749  cru  8760  lemul1a  9016  ztri3or  9500  lincmb01cmp  10211  iccf1o  10212  rebtwn2z  10486  qbtwnrelemcalc  10487  qbtwnre  10488  intfracq  10554  modqval  10558  modqlt  10567  modqsubdir  10627  ser3le  10771  expnbnd  10897  crre  11383  remullem  11397  recvguniqlem  11520  resqrexlemover  11536  resqrexlemcalc2  11541  resqrexlemcalc3  11542  resqrexlemnmsq  11543  resqrexlemnm  11544  resqrexlemcvg  11545  resqrexlemglsq  11548  resqrexlemga  11549  fzomaxdiflem  11638  caubnd2  11643  amgm2  11644  icodiamlt  11706  qdenre  11728  maxabslemab  11732  maxabslemlub  11733  maxltsup  11744  bdtrilem  11765  bdtri  11766  mulcn2  11838  reccn2ap  11839  climle  11860  climsqz  11861  climsqz2  11862  climcvg1nlem  11875  fsumle  11989  cvgratnnlembern  12049  cvgratnnlemsumlt  12054  cvgratnnlemfm  12055  cvgratnnlemrate  12056  cvgratnn  12057  efltim  12224  sin01bnd  12283  sin01gt0  12288  cos12dec  12294  bitscmp  12484  bitsinv1lem  12487  uzwodc  12573  pythagtriplem12  12813  pythagtriplem14  12815  4sqlem15  12943  blss2ps  15095  blss2  15096  blssps  15116  blss  15117  maxcncf  15304  mincncf  15305  ivthinclemlopn  15325  ivthinclemuopn  15327  ivthreinc  15334  dvcjbr  15397  reeff1oleme  15461  efltlemlt  15463  sin0pilem1  15470  tangtx  15527  cosordlem  15538  cosq34lt1  15539  gausslemma2dlem1a  15752  lgsquadlem1  15771  cvgcmp2nlemabs  16460  iooref1o  16462  trilpolemlt1  16469  trirec0  16472  apdifflemf  16474  neap0mkv  16497